Forma differenziale
Determinare una funzione $phi(y)$ di classe C1, con $phi(0)=1$, tale che la forma differenziale
$omega=(2x+phi(y))dx + x(y-phi(y))dy$
sia esatta, e calcolare la primitiva che si annulla in $(0,0)$.
Calcolo la derivata del coefficiente a rispetto a y, la eguaglio a quella del coefficiente b rispetto a x (affinchè la forma differenziale sia chiusa) ottenendo la condizione:
$phi'(y)=y-phi(y)$
Successivamente, sfruttando la condizione iniziale, ricavo che $phi'(0)=-1$.
Non riesco a questo punto a determinarmi la funzione $phi$.
Qualche suggerimento? Grazie
$omega=(2x+phi(y))dx + x(y-phi(y))dy$
sia esatta, e calcolare la primitiva che si annulla in $(0,0)$.
Calcolo la derivata del coefficiente a rispetto a y, la eguaglio a quella del coefficiente b rispetto a x (affinchè la forma differenziale sia chiusa) ottenendo la condizione:
$phi'(y)=y-phi(y)$
Successivamente, sfruttando la condizione iniziale, ricavo che $phi'(0)=-1$.
Non riesco a questo punto a determinarmi la funzione $phi$.
Qualche suggerimento? Grazie
Risposte
E' un'equazione ordinaria...
La cosa che mi lascia perplesso è che rientra in una serie di esercizi divisi per argomento. E in questa "fase" del programma ancora non abbiamo studiato le equazioni differenziali...
E come è possibile studiare le forme differenziali, che di fatto sono un modo compatto per scrivere delle equazioni differenziali, senza conoscere queste ultime? Mi sa che c'è qualcosa che non torna!
Eppure vi assicuro che è proprio così!!
Che vi posso dire...infatti è l'unico esercizi di tutta una serie che non riesco a svolgere. Però continuo a pensare che ci sia un altro modo, magari qualcosa di elementare che mi sfugge!
Che vi posso dire...infatti è l'unico esercizi di tutta una serie che non riesco a svolgere. Però continuo a pensare che ci sia un altro modo, magari qualcosa di elementare che mi sfugge!
Io ne dubito. Tra l'altro, una volta determinata [tex]$\varphi(y)$[/tex] dovresti trovare anche una primitiva e mi chiedo come tu faccia senza conoscere le equazioni differenziali (tu dirai: semplicemente faccio degli integrali... ma il fatto è che quello che fai è risolvere delle equazioni differenziali!)
Abbiamo [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)=y$[/tex] e vogliamo risolvere rispetto a [tex]$\phi(y)$[/tex] questa relazione, che è una EDO lineare.
Visto che non sappiamo né cosa sia una EDO, né come si risolve, operiamo qualche artificio per semplificare il problema.
Il termine [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] sembra tanto la derivata di un prodotto al quale è stato semplificato qualcosa... Quindi cerchiamo una funzione [tex]$\psi(y)$[/tex] che moltiplicata alla quantità [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] restituisca la derivata di un prodotto.
Visto che il prodotto tra [tex]$\psi (y)$[/tex] e [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] è [tex]$\psi (y)\phi^\prime (y)-\psi (y)\phi(y)$[/tex] e che la formula della derivata del prodotto (cioè [tex]$(fg)^\prime=fg^\prime +f^\prime g$[/tex]) impone che sia [tex]$\psi^\prime (y)=-\psi (y)$[/tex], si intuisce che l'unica alternativa possibile è scegliere [tex]$\psi(y)=e^{-y}$[/tex].
Fatta tale scelta, abbiamo [tex]$e^{-y}\phi^\prime(y)-e^{-y}\phi(y)=(e^{-y}\phi(y))^\prime$[/tex] quindi, moltiplicando membro a membro per [tex]$e^{-y}$[/tex] ed usando la relazione appena trovata, la nostra EDO può essere scritta al seguente modo:
[tex]$(e^{-y}\phi(y))^\prime =ye^{-y}$[/tex].
A questo punto è semplice risolvere per integrazione: infatti si ha:
[tex]$\int_0^y (e^{-\eta}\phi(\eta))^\prime\ \text{d} \eta =\int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex],
ossia:
[tex]$e^{-y}\phi(y) =\int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex]
e:
[tex]$\phi(y)=e^y \int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex].
Visto che non sappiamo né cosa sia una EDO, né come si risolve, operiamo qualche artificio per semplificare il problema.
Il termine [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] sembra tanto la derivata di un prodotto al quale è stato semplificato qualcosa... Quindi cerchiamo una funzione [tex]$\psi(y)$[/tex] che moltiplicata alla quantità [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] restituisca la derivata di un prodotto.
Visto che il prodotto tra [tex]$\psi (y)$[/tex] e [tex]$\phi^\prime (y)-\phi(y)$[/tex] è [tex]$\psi (y)\phi^\prime (y)-\psi (y)\phi(y)$[/tex] e che la formula della derivata del prodotto (cioè [tex]$(fg)^\prime=fg^\prime +f^\prime g$[/tex]) impone che sia [tex]$\psi^\prime (y)=-\psi (y)$[/tex], si intuisce che l'unica alternativa possibile è scegliere [tex]$\psi(y)=e^{-y}$[/tex].
Fatta tale scelta, abbiamo [tex]$e^{-y}\phi^\prime(y)-e^{-y}\phi(y)=(e^{-y}\phi(y))^\prime$[/tex] quindi, moltiplicando membro a membro per [tex]$e^{-y}$[/tex] ed usando la relazione appena trovata, la nostra EDO può essere scritta al seguente modo:
[tex]$(e^{-y}\phi(y))^\prime =ye^{-y}$[/tex].
A questo punto è semplice risolvere per integrazione: infatti si ha:
[tex]$\int_0^y (e^{-\eta}\phi(\eta))^\prime\ \text{d} \eta =\int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex],
ossia:
[tex]$e^{-y}\phi(y) =\int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex]
e:
[tex]$\phi(y)=e^y \int_0^y \eta e^{-\eta}\ \text{d} \eta$[/tex].
Sì, gugo, ma sempre di equazioni differenziali si tratta!
Utilizzando Invece le EDO va usato il Problema di Cauchy?
@ciampax:
Siamo d'accordo...
Però usando il fattore integrante, tutto si riconduce a due semplici quadrature (che, nel "migliore dei mondi possibili", uno studente sa svolgere da Analisi I anche senza aver mai visto una EDO).
Insomma, c'è modo e modo di svolgere un esercizio. E, quando uno studente dice di non aver ancora dimestichezza con lo strumento più adatto/semplice, tanto vale cercare un modo per spiegargli come andare avanti, piuttosto che dirgli di fermarsi ad aspettare... Non trovi?
@Simonkb24:
Esatto.
"ciampax":
Sì, gugo, ma sempre di equazioni differenziali si tratta!
Siamo d'accordo...
Però usando il fattore integrante, tutto si riconduce a due semplici quadrature (che, nel "migliore dei mondi possibili", uno studente sa svolgere da Analisi I anche senza aver mai visto una EDO).
Insomma, c'è modo e modo di svolgere un esercizio. E, quando uno studente dice di non aver ancora dimestichezza con lo strumento più adatto/semplice, tanto vale cercare un modo per spiegargli come andare avanti, piuttosto che dirgli di fermarsi ad aspettare... Non trovi?
@Simonkb24:
"Simonkb24":
Utilizzando Invece le EDO va usato il Problema di Cauchy?
Esatto.
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