Forma differenziale
$ w = (y^3 - 3x^2y)/(2(xy)^(1/2)(x^2 + y^2)^2) dx $ + $ (x^3 - 3y^2x)/(2(xy)^(1/2)(x^2 + y^2)^2) dy $
calcolare $ int_(C) w $ essendo C la frontiera dell'insieme ${9<=x^2+y^2<=4(x+y)-7}.
Prima di tutto ho visto che la forma differenziale è esatta in quanto le derivate parziali coincidono, poi mi sono disegnato l'insieme e ho visto che C forma una curva chiusa fatto questo posso già scrivere che
$ int_(C) w = 0 $ ?
calcolare $ int_(C) w $ essendo C la frontiera dell'insieme ${9<=x^2+y^2<=4(x+y)-7}.
Prima di tutto ho visto che la forma differenziale è esatta in quanto le derivate parziali coincidono, poi mi sono disegnato l'insieme e ho visto che C forma una curva chiusa fatto questo posso già scrivere che
$ int_(C) w = 0 $ ?
Risposte
[tex]\text{chiusa} \not \Rightarrow \text{esatta}[/tex] in generale. Devi controllare che il dominio di definizione (o la porzione che a te interessa) sia semplicemente connesso. Poi puoi dire che quell'integrale è 0.
"ciuf_ciuf":
Prima di tutto ho visto che la forma differenziale è esatta in quanto le derivate parziali coincidono
Se le derivate parziali prime sono uguali significa che $omega$ è chiusa e non esatta come dici tu.
Per vedere se $omega$ è esatta , deve essere definita su un insieme semplicemente connesso e dunque il suo integrale è nullo.
Se l'insieme non è semplicemente connesso, calcoli l'integrale lungo una restrizione (curva generalmente regolare) che circuiti la lacuna. Allora $omega$ sarà esatta e il suo integrale calcolato nella restrizione sarà 0.
Il dominio di definizione non è tutto $R^2$ infatti i valori negativi e l'origine devono essere esclusi. Quindi non è esatta?
"ciuf_ciuf":
Il dominio di definizione non è tutto $R^2$ infatti i valori negativi e l'origine devono essere esclusi. Quindi non è esatta?
No , calma.
Dove si trova nello spazio il tuo insieme C ? Se si trova nel primo quadrante escluso l'origine allora l' integrale di $omega$ calcolato lungo la frontiera di C è 0. (sai dirmi perchè?)
Ah quindi siccome devo lavorare su C posso considerare un sottoinsieme di $R^2$ dove non ci siano buchi e che quindi risulti semplicemente connesso, in questo modo posso dire che la forma differenziale risulta esatta e quindi $ int_(C) w = 0 $. Giusto ?
Allora se :
- La tua curva C è una curva generalmente regolare (sai cosa significa?)
- La tua curva circuita la lacuna. Cioè detto alla carlona, ogni punto della tua curva deve appartenere al dominio di definizione di $omega$ (che deve essere semplicemente connesso).
- La $omega$ è chiusa
Allora l'integrale lungo la curva C è nullo.
ora:
1) La tua curva C è generalmente regolare?
2) La tua curva C si trova nel semplicemente connesso (circuita la lacuna) ?
3) $omega$ è chiusa? (già l'hai definito).
- La tua curva C è una curva generalmente regolare (sai cosa significa?)
- La tua curva circuita la lacuna. Cioè detto alla carlona, ogni punto della tua curva deve appartenere al dominio di definizione di $omega$ (che deve essere semplicemente connesso).
- La $omega$ è chiusa
Allora l'integrale lungo la curva C è nullo.
ora:
1) La tua curva C è generalmente regolare?
2) La tua curva C si trova nel semplicemente connesso (circuita la lacuna) ?
3) $omega$ è chiusa? (già l'hai definito).
No sinceramente non so cosa sia una curva generalmente regolare, ho fatto una rapida ricerca e ho trovato che una curva si può definere generalmente regolare se:
1) priva di interruzioni (Si)
2) dotata di retta tangente in ogni punto (Si)
3) priva di punti angolosi (?)
E' giusta questa definizione?
No la curva non circuita la lacuna e quindi va bene no?
1) priva di interruzioni (Si)
2) dotata di retta tangente in ogni punto (Si)
3) priva di punti angolosi (?)
E' giusta questa definizione?
No la curva non circuita la lacuna e quindi va bene no?
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