Forma differenziale
Ho un dubbio sul risultato che ottengo, probabilmente ho sbagliato qualcosa.
Ho questa forma differenziale $ w = ( 1/2(x+y)^-(1/2)-3y)dx + (1/2(x+y)^-(1/2)-3x)dy $ . Calcolare $ int_(C) w $ essendo C l'arco di circonferenza di centro l'origine e raggio 1, del primo quadrante che va da (0,1) a (1,0).
Prima di tutto vedo se la forma differenziale sia esatta, vedo che lo è quindi pongo $ g_x(x,y) = 1/2(x+y)^-(1/2)-3y $ e ne faccio l'integrale rispetto a x.
Ottengo $ int_()^() ( 1/2(x+y)^-(1/2)-3y)dx = (x+y)^(1/2)-3xy + f(y) = g(x,y) $ . Derivo g(x,y) rispetto a y
$g_y(x,y) = 1/2(x+y)^-(1/2)-3x+f'(y) $. Quindi trovo che f'(y) = 0 cioè f(y) = k => $ g(x,y) = (x+y)^(1/2)-3xy+k $
$ int_(C) w = g(1,0) - g(0,1) = 0 $ Può essere che venga zero ? Zero non dovrebbe venire nel caso in cui la curva è una curva chiusa ?
Ho questa forma differenziale $ w = ( 1/2(x+y)^-(1/2)-3y)dx + (1/2(x+y)^-(1/2)-3x)dy $ . Calcolare $ int_(C) w $ essendo C l'arco di circonferenza di centro l'origine e raggio 1, del primo quadrante che va da (0,1) a (1,0).
Prima di tutto vedo se la forma differenziale sia esatta, vedo che lo è quindi pongo $ g_x(x,y) = 1/2(x+y)^-(1/2)-3y $ e ne faccio l'integrale rispetto a x.
Ottengo $ int_()^() ( 1/2(x+y)^-(1/2)-3y)dx = (x+y)^(1/2)-3xy + f(y) = g(x,y) $ . Derivo g(x,y) rispetto a y
$g_y(x,y) = 1/2(x+y)^-(1/2)-3x+f'(y) $. Quindi trovo che f'(y) = 0 cioè f(y) = k => $ g(x,y) = (x+y)^(1/2)-3xy+k $
$ int_(C) w = g(1,0) - g(0,1) = 0 $ Può essere che venga zero ? Zero non dovrebbe venire nel caso in cui la curva è una curva chiusa ?
Risposte
Una precisazione: la forma differenziale non è definita sulla retta $y=-x$. Visto che $C$ giace nel semipiano $\Omega = \{y>-x\}$, puoi fare tutti i tuoi ragionamenti restringendoti a questo semipiano.
Riguardo la tua domanda: se una forma differenziale è esatta, allora tutte le circuitazioni sono nulle, ma questo non significa che l'integrale di linea si possa annullare solo sulle curve chiuse. Quindi, può venire zero anche se la curva non è chiusa.
Riguardo la tua domanda: se una forma differenziale è esatta, allora tutte le circuitazioni sono nulle, ma questo non significa che l'integrale di linea si possa annullare solo sulle curve chiuse. Quindi, può venire zero anche se la curva non è chiusa.
Ok grazie, quindi non ho commesso nessun errore giusto ?
Hai riscritto male $g$ nella penultima riga. Per il resto mi sembra sia a posto (a parte la precisazione che ti ho già detto).
"Rigel":
Hai riscritto male $g$ nella penultima riga. Per il resto mi sembra sia a posto (a parte la precisazione che ti ho già detto).
Si vero ho fatto copia e incolla ma poi mi sono dimenticato di sistemarla
, grazie dell'aiuto ciao
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