Forma differenziale

[cntrone]

ciao..mi sono imbattuto in un esercizio che non riesco a risolvere..

devo studiare l'esattezza di una forma differenziale e trovare un potenziale..

$\omega=2*(xy^4-sin(x+y)cos(x+y))/(cos^2(x+y)+x^2y^4)dx+2(2x^2y^3-sin(x+y)cos(x+y))/(cos^2(x+y)+x^2y^4)dy$

il dominio è
$(x,y)!=(0,pi/2+kpi) AA k in ZZ$
$(x,y)!=(pi/2+kpi,0) AA k in ZZ$


allora il dominio è connesso ma non semplicemente connesso..

inoltre ho verificato che la forma è chiusa..tuttavia non so come procedere..cioè i punti che fanno saltare la semplice connessione sono infiniti..io solitamente a questo punto procedevo cercando una curva chiusa che circondasse la zone in cui non si aveva la semplice connessione lungo la quale l'integrale di linea della forma differenziale fosse zero..qualcuno può darmi un suggerimento?

[Berationalgetreal]

Anche in questo caso, visto che sono passati 7 anni, rispondo a questa domanda per chi, nel 2016, ha bisogno di esercitarsi sulle forme differenziali. E questa a prima vista sembra chissà quale assurdità (anche se non lo è), quindi la rispolvero per chi volesse cimentarsi. Metto la risoluzione in spoiler

Per studiare l'esattezza di questa forma conviene trovare una sua primitiva. Infatti, l'esistenza di una primitiva implicherà l'esattezza.

Usiamo il metodo delle costanti:

Dobbiamo risolvere questo integrale:

\[ \int \frac{2xy^4 - 2\sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} dx \]

Per quanto possa sembrare "complicato", questo integrale è immediato:

infatti, notando che
\[ 2xy^4 - 2\sin(x + y) \cos(x+y) = \frac{d \left ( \cos^2(x + y) +x^2y^4 \right )}{d x} \]

ci accorgiamo che
\[ \frac{2xy^4 - 2\sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} = \frac{ d \left ( \ln \left (\cos^2(x + y) +x^2y^4 \right ) \right )}{dx} \]


Quindi,
\[ \int \frac{2xy^4 - 2\sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} dx = \ln \left (\cos^2(x + y) +x^2y^4 \right ) + C(y) \]

dove $ C(y)$ è costante rispetto a $x$ ma potrebbe dipendere da $y$.

Ora, derivando rispetto ad $y$ ciò che abbiamo ottenuto,

\[ \frac{ d \left ( \ln \left (\cos^2(x + y) +x^2y^4 \right ) \right )}{dy} =\frac{4x^2y^3 - 2 \sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} + C'(y) \]

e imponendo

\[ \frac{4x^2y^3 - 2 \sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} + C'(y) = \frac{4x^2y^3 - 2 \sin(x + y) \cos(x+y)}{\cos^2(x + y) +x^2y^4} \]

otteniamo che $ C'(y) = 0 \implies C(y) $ è costante anche rispetto ad $y$.

Di conseguenza, la primitiva di $\omega$ è

\[ U = \ln \left (\cos^2(x + y) +x^2y^4 \right ) + k, \ k \in \mathbb{R} \]

In particolare, visto che ammette primitiva, la forma è esatta