Forma differenziale

[raf881]

$ w(x,y) = (-xy)/(sqrt(y-x^2))dx+((3y-2x^2)/(2sqrt(y-x^2))+1)dy $

verificare che w sia esatta!
$A=(x,y): y!=x^2 $ quindi A non è semplicemente connesso o sbaglio?

Quindi come faccio a verificare che w è esatta senza sfuttare la condizione di w chiusa?

[Fioravante Patrone1]

"raf88":$ w(x,y) = (-xy)/(sqrt(y-x^2))dx+((3y-2x^2)/(2sqrt(y-x^2))+1)dy $

verificare che w sia esatta!
$A=(x,y): y!=x^2 $ quindi A non è semplicemente connesso o sbaglio?

sbagli


$A= {(x,y) \in RR^2 : y > x^2 }$ ed è semplicemente connesso

[raf881]

che errore!!!!!!!! hai ragione grz mille!

ma nel caso in cui l'insieme non fosse semplicemente connesso in che modo posso verificare che w è esatta?

[ViciousGoblin]

"raf88":$ w(x,y) = (-xy)/(sqrt(y-x^2))dx+((3y-2x^2)/(2sqrt(y-x^2))+1)dy $

verificare che w sia esatta!
$A=(x,y): y!=x^2 $ quindi A non è semplicemente connesso o sbaglio?

Quindi come faccio a verificare che w è esatta senza sfuttare la condizione di w chiusa?

Mi pare pero' che il dominio sia $y>x^2$ che e' semplicemente connesso.

Inoltre, se fosse $y\ne x^2$, dire che non e' semplicemente connesso e' un po' fuorviante. In effetti l'insieme $\Omega:={y\ne x^2}$ NON E' CONNESSO, essendo
composto di due componenti connesse $\Omega^+:={y> x^2}$ $\Omega^- :={y\leq x^2}$, ognuna delle quali e' semplicemente connessa. Ne ridulta che ogni forma
differenziale chiusa su $\Omega$ e' esatta, dato che sicuramente ammette una primitiva sia su $\Omega^+$ che su $\Omega^-$ e quindi ammette una primitiva su $\Omega$.


AARG F.P. mi ha preceduto

[Fioravante Patrone1]

Se la forma è di classe $C^1$, essere chiusa è condizione necessaria.

Se è verificata, puoi concludere che è esatta se il dominio è semplicemente connesso.
Se non è semplicemente connesso, devi fare qualche integrale. A spanne, ti devi trovare dove sono i "buchi" del tuo dominio (caratterizzati dal fatto che un "cappio" fatto attorno non si riesce a chiudere) e per ogni "buco" devi fare un integrale di linea su una curva chiusa che "stia attorno al buco". Se tutti questi integrali ti vengono 0, la forma è esatta. Altrimenti no.

[Fioravante Patrone1]

"ViciousGoblin":
Inoltre, se fosse $y\ne x^2$, dire che non e' semplicemente connesso e' un po' fuorviante. In effetti l'insieme $\Omega:={y\ne x^2}$ NON E' CONNESSO, essendo
composto di due componenti connesse $\Omega^+:={y> x^2}$ $\Omega^- :={y\leq x^2}$, ognuna delle quali e' semplicemente connessa. Ne ridulta che ogni forma
differenziale chiusa su $\Omega$ e' esatta, dato che sicuramente ammette una primitiva sia su $\Omega^+$ che su $\Omega^-$ e quindi ammette una primitiva su $\Omega$.


AARG F.P. mi ha preceduto

In compenso tu mi hai tolto le parole di bocca. Opportuna precisazione!!