Forma differenziale...

[taroz1]

Questo priprio non so come impostarlo. Una forma differenziale:

((xy^2)/(x^2+1))dx-(y log(1/(x^2+1)))dy

Quel logaritmo mi blocca...

Devo verificare se è una forma differenziale esatta,
calcolare la funzione potenziale che si annulla in (0,1)
e quanto vale l'integrale della forma lungo il segmanto AB con A(0,1) e B(1,2).....

e non sono nemmeno riuscito a iniziare!

Chi può aiutarmi??

GRAZIE

[ale712]

dy((xy^2)/(x^2+1))=dx(-(y log(1/(x^2+1))))=(2xy)/(x^2+1)
quindi è esatta (è definita su R^2 presumo!!)

cerchiamo un poteziale:
Int(rispetto a x)((xy^2)/(x^2+1))=1/2*y^2*Log(x^2+1)+c
perchè si annulli in (0,1) deve essere c=0

il segmento AB fa parte della retta y=x+1
parametrizziamo in:
x=t
y=x+1
sostituiamo nella forma diff. e calcoliamo l'int tra 0 e 1:
int(tra 0,1)(t(t+1)^2)/(t^2+1)-(t+1)Log(1/(t^2+1)) dt=Log 4

non è facile spiegare il perchè di tutti i passaggi!!
spero di non aver fatto errori!
ciao
ale7

[taroz1]

Scusa, però non ho ben capito l'ultimo passaggio: normalmente ho sempre espresso i risultati degli integrali di linea utilizzando la linea in forma cartesiana (x e y, insomma!).

Infatti io l'eserizio l'avevo impostato come la somma dell'intgrale in x sull'intervallo 0-1 più l'integrale in y su 1-2... e il risultato mi viene infatti una funzione di x,y, non certo un valore costante!

Il tuo risultato è certo più elegante... come si torna dal tuo risultato alla forma in x,y??

GRAZIE

[ale712]

attento!
non stai integrando una funzione (quindi: somma dell'intgrale in x sull'intervallo 0-1 più l'integrale in y su 1-2..)

ma stai integrando una forma differenziale:
quindi devi parametrizzare la curva sulla quale fai l'integrale(io ho sempre fatto così)

se invece vuoi cercare una primitiva della funzione potenziale che hai trovato allora imposti l'integrale nella forma x,y (quindi: somma dell'intgrale in x sull'intervallo 0-1 più l'integrale in y su 1-2..)

ale7