Forma differenziale

marcoianna
Salve,
solitamente non ho problemi con questi esercizi ma a quanto pare quest'ultimo mi ha mandato un po' in tilt

purtroppo wolfram Alpha non mi da informazioni circa l'esattezza o la chiusura di tale forma

Pur essendo definita in \( R^2 \) -(y=x)
Ad ogni modo mi risulta che le derivate incrociate non si eguaglino


Per quanto poi riguarda l'integrale curvilineo essendo lungo una circonferenza dovrebbe essere una circuitazione, che in quanto forma aperta (forse) dovrebbe darmi valore differente da zero, ma non essendo al centro del sistema cartesiano vado un attimino in tilt nell'impostazione dei parametri.


Ringrazio chiunuqe volesse darmi una mano a risolvere tale esercizio

Risposte
marcoianna
UPGRADE:
dopo numerosi tentativi le derivate sono uguali e sono entrambe:
\( \ {\frac{y(2x^2-y^2)}{x^2(x^2-y^2)\sqrt{x^2-y^2} }} \)

ora come posso procedere?

dissonance
Devi togliere dal dominio anche tutto l'asse delle \(y\). Per calcolare quella circuitazione ti basta studiare la forma differenziale nella componente connessa del dominio contenente \((3,0)\), ovvero \(\{ x>0, x>y\}\). Se la forma è chiusa allora ... siccome questa componente connessa è semplicemente connessa ...

marcoianna
"dissonance":
Devi togliere dal dominio anche tutto l'asse delle \(y\). Per calcolare quella circuitazione ti basta studiare la forma differenziale nella componente connessa del dominio contenente \((3,0)\), ovvero \(\{ x>0, x>y\}\). Se la forma è chiusa allora ... siccome questa componente connessa è semplicemente connessa ...





Ciao, perdonami, potresti spiegarmelo in maniera più semplce :roll: faccio ancora un po' di difficoltà.
non ho capito perchè devo togliere dal dominio l'asse delle y......e da quanto ho capito dovrei studiare il dominio solo in x>0 e x>y quindi sotto la bisettrice nel primo settore? andando in questo modo a considerare solo metà della circonferenza di centro 3.0
perchè?

Ti ringrazio per la risposta, a presto

dissonance
Se \(x=0\) si annulla un denominatore. Inoltre, hai imposto che l'argomento della radice quadrata sia positivo? Mi sa di no.

Calcola bene l'insieme di definizione di quella forma differenziale, e non ti scordare il teorema fondamentale sulle forme differenziali chiuse!

marcoianna
X=0 e -1

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