Forma Differenziale

[xAle2]

Salve,
data la seguente forma differenziale $ omega=x/sqrt(x^2+y^2)dx+y/sqrt(x^2+y^2)dy $. Calcolare l'integrale curvilineo lungo la curva $gamma(t)= ( ( sen(2pit ),( cos2pit ) ), 0<=t<=1 $

La forma differenziale presenta un punto di discontinuità in $(0,0)$. E' chiusa ma visto che l'insieme di definizione non è semplicemente connesso non posso dire che è esatta. Dopo queste premesse vi chiedo se posso calcolare una primitiva di $omega$ e poi applicare il noto teorema per cui l'integrale curvilineo corrisponde alla differenza della primitiva valutata sugli estremi della curva.

Grazie per l'attenzione

[singularity]

Penso che questo esercizio serva proprio a dimostrare che la forma differenziale non è esatta facendoti calcolare un integrale curvilineo lungo una curva chiusa ($gamma (t)$ descrive una circonferenza!), e verificando che è diverso da zero. Prova ad impostare l'integrale curvilineo, vedrai che i conti sono semplici.

[Berationalgetreal]

"singularity":Penso che questo esercizio serva proprio a dimostrare che la forma differenziale non è esatta facendoti calcolare un integrale curvilineo lungo una curva chiusa ($gamma (t)$ descrive una circonferenza!), e verificando che è diverso da zero. Prova ad impostare l'integrale curvilineo, vedrai che i conti sono semplici.

Eh no. Invece è esatta. Usando il metodo delle costanti:

\[ U_x = \int \frac{ x}{\sqrt{ x^2 + y^2} } \; \text{d} x = \sqrt{ x^2 + y^2} + C(y) \]

dove \( C (y) \) è una funzione soltanto della \(y\). Per determinarla:

\[ \frac{ \partial U_x}{\partial y} = \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } + C'(y) \]

Imponendo che questa sia uguale alla derivata parziale rispetto ad \(y\) della primitiva della forma differenziale:

\[ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{ \partial U_x}{\partial y} \iff \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } + C'(y) = \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } \iff C'(y) = 0 \]

Dunque, \( C(y) \) è una funzione costante anche rispetto ad \( y \). Infine:

\[ U(x,y) = \sqrt{ x^2 + y^2 } \]

Tra l'altro, anche senza calcolare la primitiva:

\[ \underset{ \gamma} {\int} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{1} \Big ( \sin (2\pi t) \cos (2\pi t) - \sin (2\pi t) \cos (2\pi t) \Big ) \; \text{d} t = 0 \]

[xAle2]

"singularity":Penso che questo esercizio serva proprio a dimostrare che la forma differenziale non è esatta facendoti calcolare un integrale curvilineo lungo una curva chiusa ($gamma (t)$ descrive una circonferenza!), e verificando che è diverso da zero. Prova ad impostare l'integrale curvilineo, vedrai che i conti sono semplici.

Ciao singularity,
ti spiego meglio il contesto. Quello che ho riportato è un pezzo di esercizio che ho svolto come esame pochi giorni fa. L'esercizio originale chiedeva l'integrale curvilineo anche su altre due curve. Il mio problema sorge dal fatto che nella soluzione anche questo ultimo integrale curvilineo è svolto con il "metodo della primitiva" e restituisce un risultato analogo alla strada che consigli tu che è anche quello che ho fatto io all'esame.

Pensandoci sono giunto alle seguenti conclusioni:
una forma differenziale chiusa ma non esatta su $R^2$ è del tipo $omega=(-alphay)/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)dx+(betax)/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)dy+omega^*$ con $omega^*$ generica forma differenziale. Questo risultato è stato mostrato a lezione e non dimostrato. Non lo trovo riportato in nessun libro, quindi è da prendere con le dovute cautele. La forma differenziale dell'esercizio non è di questo tipo dunque dovrebbe essere chiusa ed esatta. Posso dunque usare la primitiva anche lungo una circonferenza attorno all'origine.

Inoltre nella soluzione click (pag. 2) non mi torna il passaggio in cui dice che la primitiva è definita sullo stesso dominio di $omega$

Edit: Mentre rispondevo non ho visto il messaggio di @Berationalgetreal. Spero mi possa aiutare a fugare i miei dubbi

[singularity]

"Berationalgetreal":

Eh no. Invece è esatta. Usando il metodo delle costanti:

\[ U_x = \int \frac{ x}{\sqrt{ x^2 + y^2} } \; \text{d} x = \sqrt{ x^2 + y^2} + C(y) \]

dove \( C (y) \) è una funzione soltanto della \(y\). Per determinarla:

\[ \frac{ \partial U_x}{\partial y} = \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } + C'(y) \]

Imponendo che questa sia uguale alla derivata parziale rispetto ad \(y\) della primitiva della forma differenziale:

\[ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{ \partial U_x}{\partial y} \iff \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } + C'(y) = \frac{ y}{\sqrt{x^2 + y^2} } \iff C'(y) = 0 \]

Dunque, \( C(y) \) è una funzione costante anche rispetto ad \( y \). Infine:

\[ U(x,y) = \sqrt{ x^2 + y^2 } \]

Tra l'altro, anche senza calcolare la primitiva:

\[ \underset{ \gamma} {\int} \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{1} \Big ( \sin (2\pi t) \cos (2\pi t) - \sin (2\pi t) \cos (2\pi t) \Big ) \; \text{d} t = 0 \]

Oops, mea culpa. Troppa fretta nel trarre conclusioni