Forma differenziale
Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di aerodinamica e mi sono imbattuto nelle forme differenziali.
In particolare il testo afferma che preso il potenziale cinetico \(\overrightarrow{\nabla}\phi\) poiché
\(\oint_{C} \overrightarrow{\nabla}\phi \cdot d\overrightarrow{l}=\oint_{C} d\phi=\Gamma\)
allora la funzione $ \phi $ non è continua nel dominio..
Adesso il dominio che sto considerando non è semplicemente connesso, in quanto presenta un "buco" (il corpo che sto studiando)... le mie domande allora sono:
-Non potevo affermare già in precedenza che quel differenziale non fosse esatto, in quanto il dominio non è semplicemente connesso?
-La non esattezza implica la non continuità?
Grazie
sto studiando per l'esame di aerodinamica e mi sono imbattuto nelle forme differenziali.
In particolare il testo afferma che preso il potenziale cinetico \(\overrightarrow{\nabla}\phi\) poiché
\(\oint_{C} \overrightarrow{\nabla}\phi \cdot d\overrightarrow{l}=\oint_{C} d\phi=\Gamma\)
allora la funzione $ \phi $ non è continua nel dominio..
Adesso il dominio che sto considerando non è semplicemente connesso, in quanto presenta un "buco" (il corpo che sto studiando)... le mie domande allora sono:
-Non potevo affermare già in precedenza che quel differenziale non fosse esatto, in quanto il dominio non è semplicemente connesso?
-La non esattezza implica la non continuità?
Grazie
Risposte
ti rispondo ma sappi che non ne so un granchè, le sto studiando adesso le forme differenziali.... detto ciò:
una forma differenziale è esatta se e solo se la circuitazione lungo una curva chiusa è nullo. ci sono esempi di forme differenziali esatte in insiemi non semplicemente connessi.
ti direi di no. prendi per esempio questa forma:
essa è continua nel suo dominio ( $RR^2 \ {(0,0)}$ ) ma essa non è qui esatta. se fai per esempio lungo la circonferenza unitaria che ruota in senso antiorario attorno all'origine trovi che questo vale $-2pi$.
"astrolabio95":
-Non potevo affermare già in precedenza che quel differenziale non fosse esatto, in quanto il dominio non è semplicemente connesso?
una forma differenziale è esatta se e solo se la circuitazione lungo una curva chiusa è nullo. ci sono esempi di forme differenziali esatte in insiemi non semplicemente connessi.
"astrolabio95":
-La non esattezza implica la non continuità?
ti direi di no. prendi per esempio questa forma:
omega=3x+yx2+y2dx−x−3yx2+y2dy
essa è continua nel suo dominio ( $RR^2 \ {(0,0)}$ ) ma essa non è qui esatta. se fai per esempio lungo la circonferenza unitaria che ruota in senso antiorario attorno all'origine trovi che questo vale $-2pi$.
Ti ringrazio per le risposte, dovrò vedere la cosa da un punto di vista fisico, suppongo
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