Forma differenziale

[Fabrufy]

Ciao a tutti ragazzi, vi pongo un piccolo esercizio sul quale sto avendo dei problemi. All'apparenza mi sembrava semplice, ma mi blocco ad un punto e non so come procedere:


Data la forma differenziale
$−2xydx + 2xydy$

calcolare l’integrale curvilineo sulla curva chiusa ottenuta congiungendo i punti $(0,0)$ $(2,0)$ $(2, 1)$ $(1, 1)$ (contorno del trapezio), percorsa in senso antiorario.

1) per prima cosa calcolo le derivate incrociate e verifico se coincidono ( ma in teoria a priori, dalla traccia si capisce che la curva è aperta, e infatti non coincidono

2) A questo punto però cosa faccio? perché io, come di solito, mi sarei trovato una primitiva della forma differenziale, e poi avrei considerato il percorso di quella primitiva calcolata nei punti forniti.

[phaerrax]

\(\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\)
A parte il fatto che la curva è chiusa, non aperta, e comunque ciò non incide minimamente sulla chiusura della forma differenziale, quest'ultima (la chiamo \(\omega=\omega_1\dd x+\omega_2\dd y\)) si integra tramite la formula
\[
\int_a^b\Bigl[\omega_1\bigl(\gamma(t)\bigr)\gamma_1'(t)+\omega_2\bigl(\gamma(t)\bigr)\gamma_2'(t)\Bigr]\,\dd t
\]
dove \(\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\colon[a,b]\to\mathbb{R}^2\) è una parametrizzazione della curva in questione e \(\gamma_i'(t)\) la derivata della $i$-esima componente rispetto alla sua unica variabile, $t$.
In questo caso particolare la curva è spezzata in quattro parti, quindi servono quattro integrali distinti.