Forma differenziale

[amedeo.taormina]

Qualcuno saprebbe risolverla?

[Noisemaker]

La forma differenziale assegnata è definita in $\Omega:=\mathbb{R}^2\setminus \{y=0\},$ un insieme composto da due parti semplicemente connesse; poichè
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x}\left(x \cos(xy)+\frac{1}{y}\right)=\cos(xy)-xy\cos(xy)=\frac{\partial}{\partial y}\left(y \cos(xy)\right),
\end{align}
la forma differenziale è chiusa e quindi esatta in ogni sottoinsieme aperto di $\Omega$ che contiene la curva $\gamma.$ Per il calcolo, si può procedere in vari modi: o applicando la definizione, e quindi calcolare
\[\int_{t=0}^{\pi}\left((2+\sin t) \cos(t(2+\sin t))+ t \cos t \cos(t(2+\sin t))+\frac{\cos t}{2+\sin t}\right) dt,\]
che ad occhio non sembra essere una strada percorribile; oppure cercando una primitiva della forma differenziale: integrando la prima componente rispetto ad $x$
\[\int y \cos(xy) dx=\cos(xy)+C(y) \]
e derivando il risultato rispetto ad $y$
\[\frac{\partial}{\partial y}\left(\cos(xy)+C(y)\right)=-x \sin(xy)+C'(y), \]
per l'esattezza della forma deve essere
\[ x \cos(xy)+\frac{1}{y}=-x \sin(xy)+C'(y), \]
per cui
\[C'(y)= x \cos(xy)+\frac{1}{y}+x \sin(xy) \quad \Rightarrow\quad C(y)= \sin(xy)-\cos(xy) +\ln y+c;\]
e quindi l'insieme delle funzioni primitive è
\[U(x,y)= \sin(xy) +\ln y+c;\]
allora
\[\int\limits_{\gamma}\omega(x,y)= U(\pi,2)-U(0,2)= \sin(2\pi) +\ln 2-\sin(0)-\ln(2)=0.\]

[amedeo.taormina]

\[ U(x,y)=sen(xy)+ln(-y) \]Grazie per la risposta volevo capire il procedimento del calcolo dell'integrale in una curva nell'eventualità in cui l'insieme di definizione non è semplicemente connesso ma composto da più parti semplicemente connesse.

Noisemaker In quello che hai calcolato \[ \int y \cos(xy) dx=\cos(xy)+C(y) \] mi pare ci sia un errore perchè dovrebbe essere \[ \int y \cos(xy) dx=sen(xy)+C(y) \] anche se alla fine U(x,y) è esatta
comunque non ha importanza mi interessava il procedimento.

io lo avevo fatto diversamente considerando \[ U(x,y)=sen(xy)+ln(y) \] per \[y>0 \]
e
\[ K(x,y)=sen(xy)+ln(-y) \] per \[y<0 \]

quindi ho poi calcolato negli estremi della curva e mi veniva
\[ \int\limits_{\gamma}\omega(x,y)= [U(\pi,2)-U(0,2)]+[K(\pi,-2)-K(0,-2)]= \sin(2\pi) +\ln 2-\sin(0)-\ln(2)+ \sin(-2\pi) +\ln 2-\sin(0)-\ln(2)=0. \]

sarebbe corretto? o dovrei considerare la forma differenziale unicamente come U(x,y)
il questo caso sono solo due le parti semplicemente connesse ma nel caso fossero di più cioè se l'insieme di definizione della forma differenziale fosse ad esempio $ \Omega:=\mathbb{R}^2\setminus \{x=0,y=0\}, $
se non vado errato sarebbero 4 parti semplicemente connesse, basterebbe considerare solo U(x,y) o dovrei considerare anche le altre parti in dipendenza dell'insieme considerato?