Forma differenziale
partendo da una forma differenziale esatta, come si calcola il potenziale di una circonferenza avente centro (2,3) e raggio 5? Grazie
Risposte
idee tue?
Non lo so sennò non sarei qui a chiedere aiuto
secondo il regolamento dovresti postare almeno un tuo tentativo.. giusto o sbagliato che sia..
tipo scrivi già l'equazione parametrica della circonferenza..quella generica..
tipo scrivi già l'equazione parametrica della circonferenza..quella generica..
"Ladisperazione1":
come si calcola il potenziale di una circonferenza avente centro (2,3) e raggio 5?
Non mi risulta che le circonferenze abbiano un potenziale, no?!?...
Quindi, lascia che risponda alla tua domanda con una domanda: che ne diresti di scrivere meglio il testo del problema e comporre un post che soddisfi i requisiti minimi della netiquette vigente sul forum (riassunta qui)?
Grazie.
concordo pienamente con gugo82
stavo per modificare la mia risposta e scrivere un po' quello che ti ha gugo82..
stavo per modificare la mia risposta e scrivere un po' quello che ti ha gugo82..
Sia /omega la suddetta forma differenziale: 4x^3y^4 dx + 4x^4y^3 dy.
Affrontare le problematiche seguenti:
- determinare una regione massimale in cui /omega sia esatta;
- calcolare l'integrale su gamma di /omega sapendo che gamma e una circonferenza di centro c(2,3) e raggio 5.
Sono riuscito a svolgere istantaneamente il primo punto ma trovo qualche difficoltà nel secondo perché non so come iniziare a sviluppare l'integrale..
Affrontare le problematiche seguenti:
- determinare una regione massimale in cui /omega sia esatta;
- calcolare l'integrale su gamma di /omega sapendo che gamma e una circonferenza di centro c(2,3) e raggio 5.
Sono riuscito a svolgere istantaneamente il primo punto ma trovo qualche difficoltà nel secondo perché non so come iniziare a sviluppare l'integrale..
"Ladisperazione1":
Sia /omega la suddetta forma differenziale: 4x^3y^4 dx + 4x^4y^3 dy.
Affrontare le problematiche seguenti:
- determinare una regione massimale in cui /omega sia esatta;
- calcolare l'integrale su gamma di /omega sapendo che gamma e una circonferenza di centro c(2,3) e raggio 5.
Sono riuscito a svolgere istantaneamente il primo punto
Vediamo lo svolgimento...
Ho fatto:
F1(y)= 16x^3y^3. F2(x)=16x^3y^3.
Poiché le derivate parziali rispetto a x e y sono uguali la forma e esatta.
Adesso non so più continuare
F1(y)= 16x^3y^3. F2(x)=16x^3y^3.
Poiché le derivate parziali rispetto a x e y sono uguali la forma e esatta.
Adesso non so più continuare
per quanto riguarda il secondo punto..
l'equazione cartesiana generica di una circonferenza con centro $ C=((x_0),(y_0)) $ e raggio $ r=\alpha $ con $\alpha \in RR$
è $ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\alpha^2 $
la sua equazione in forma parametrica è $ { ( x=x_0+\alpha \cos \theta ),( y=y_0+\alpha \sin \theta ):}, \theta \in[0,2\pi] $
ora hai tutti gli strumenti per continuare l'esercizio..
l'equazione cartesiana generica di una circonferenza con centro $ C=((x_0),(y_0)) $ e raggio $ r=\alpha $ con $\alpha \in RR$
è $ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\alpha^2 $
la sua equazione in forma parametrica è $ { ( x=x_0+\alpha \cos \theta ),( y=y_0+\alpha \sin \theta ):}, \theta \in[0,2\pi] $
ora hai tutti gli strumenti per continuare l'esercizio..
Quindi ora devo impostare l'integrale da o a 2pigreco della forma differenziale?? La stessa situazione vale se ho di fronte un ellisse?
"Ladisperazione1":
Ho fatto:
F1(y)= 16x^3y^3. F2(x)=16x^3y^3.
Poiché le derivate parziali rispetto a x e y sono uguali la forma e esatta.
Adesso non so più continuare
aspetta solo ora l'ho notato.. su quello che hai scritto..che le derivate in croce coincidono della forma differenziale
NON significa che la forma è esatta.. ma SIGNIFICA che la forma differenziale è CHIUSA.
ricordatelo questo..che soprattutto in sede d'esame orale..ti possono mandare via..
per verificare se effettivamente è esatta..devi fare l'integrale di una curva chiusa..
se quest'integrale viene 0 allora la forma differenziale è esatta
"Ladisperazione1":
Ho fatto:
F1(y)= 16x^3y^3. F2(x)=16x^3y^3.
Poiché le derivate parziali rispetto a x e y sono uguali la forma e esatta.
Come notava 21zuclo, c'è qualcosa che non va a livello concettuale.
Infatti, data la f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\), la sola uguaglianza delle derivate "in croce", i.e. la relazione \(a_y(x,y)=b_x(x,y)\), non ti assicura nemmeno lontanamente che la forma sia esatta!
Riassumiamo la situazione. In quello che segue le funzioni \(a\) e \(b\) sono sempre continue.
Ricordiamo innanzitutto che:
Una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) è detta esatta in \(\Omega\) quando esiste una funzione \(U:\Omega \to \mathbb{R}\) derivabile in \(\Omega\) e tale che:
\[
\text{d} U = \omega \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} U_x(x,y)=a(x,y)\\ U_y(x,y) = b(x,y)
\end{cases}\quad , \text{ per ogni } (x,y)\in \Omega\; .
\]
In tal caso \(U\) è detta primitiva di \(\omega\).
Una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) è detta chiusa in \(\Omega\) quando i coefficienti \(a\) e \(b\) sono derivabili in \(\Omega\) e le loro derivate soddisfano l'uguaglianza:
\[
a_y(x,y)=b_x(x,y), \text{ per ogni } (x,y)\in \Omega\; .
\]
In generale, le proprietà di esattezza e di chiusura stanno ognuna per conto proprio; tuttavia, se una f.d.l. ha i coefficienti continui con le loro derivate prime in \(\Omega\), la condizione di chiusura è necessaria per l'esattezza poiché vale il seguente fatto:
Se i coefficienti di una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) sono di classe \(C^1(\Omega)\) e se \(\omega\) è esatta in \(\Omega\), allora \(\omega\) è chiusa in \(\Omega\).
Da tale condizione, per contrapposizione, si trae:
Se i coefficienti di una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) sono di classe \(C^1(\Omega)\) e se \(\omega\) non è chiusa in \(\Omega\), allora \(\omega\) non è neppure esatta in \(\Omega\).
ma in generale non si può proprio dire che una f.d.l. chiusa in un aperto sia pure esatta lì dentro, ossia non si può dire che la chiusura di una f.d.l. sia anche sufficiente alla esattezza della medesima f.d.l.
In alcuni casi particolari, però, la chiusura diviene una condizione sufficiente all'esattezza... Ciò, sorprendentemente, non dipende in alcun modo dai coefficienti, bensì dalle proprietà geometriche dell'aperto \(\Omega\)!
Infatti si dimostra che:
Se i coefficienti di una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) sono di classe \(C^1(\Omega)\), se \(\omega\) è chiusa in \(\Omega\) e se \(\Omega\) è semplicemente connesso, allora \(\omega\) è pure esatta in \(\Omega\).
La connessione semplice è una proprietà topologica dell'aperto \(\Omega\) che, in soldoni, è soddisfatta quando l'aperto \(\Omega\) non è "forato", cioé quando esso non ha "buchi". Detta in maniera meno becera, un aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) è semplicemente connesso quando il suo complementare \(\mathbb{R}^2\setminus \Omega\) è un insieme chiuso connesso (cioé, un chiuso formato da un "unico pezzo").[nota]Il teorema detto sopra vale anche in dimensione maggiore; tuttavia, in dimensione \(>2\) è difficile caratterizzare in maniera intuitiva gli aperti semplicemente connessi come "aperti senza buchi"... Infatti, ad esempio, l'insieme "forato" \(\mathbb{R}^3\setminus \{\mathbf{0}\}\) è semplicemente connesso nonostante la presenza di un foro nell'origine.[/nota]
Tornando al tuo esercizio, dunque, la f.d.l.:
\[
\omega := 4\ x^3\ y^4\ \text{d} x + 4\ x^4\ y^3\ \text{d} y
\]
è definita in \(\Omega:=\mathbb{R}^2\), il quale è un aperto non vuoto e semplicemente connesso (perché non ha "fori"); visto che i coefficienti:
\[
a(x,y) := 4\ x^3\ y^4 \qquad \text{e}\qquad b(x,y) := 4\ x^4\ y^3
\]
della f.d.l. sono di classe \(C^\infty\) in \(\Omega\) (perché polinomi) e visto che essi soddisfano la condizione delle derivate "in croce":
\[
a_y(x,y) =16\ x^3\ y^3 = b_x(x,y)\; ,
\]
la \(\omega\) è chiusa in \(\Omega\); per l'importante teorema ricordato sopra, la chiusura di \(\omega\) e la semplice connessione di \(\Omega\) ti assicurano che \(\omega\) è esatta in \(\Omega\).
Questo termina la prima parte dell'esercizio.
***
La seconda parte dell'esercizio si risolve in mezzo secondo, tenendo presente un'importantissima caratterizzazione delle f.d.l. esatte, cioé la seguente:
Una f.d.l. \(\omega := a(x,y)\text{d} x + b(x,y)\text{d} y\) definita in un insieme aperto \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^2\) è esatta in \(\Omega\) se e solo se risulta:
\[
\int_\Gamma \omega =0
\]
per ogni curva chiusa \(\Gamma\) avente il sostegno contenuto in \(\Omega\).
Sapresti dire come?
Come hai detto tu la chiusura non implica sempre l'esattezza, tuttavia ho tenuto conto del secondo teorema di integrabilita dove appunto le due condizioni sono equivalenti.. A questo punto mi sorge una domanda: per risolvere il secondo punto non devo fare alcuna parametrizzazione delle figure?? Posso concludere sempre in quel modo?
"Ladisperazione1":
Come hai detto tu la chiusura non implica sempre l'esattezza, tuttavia ho tenuto conto del secondo teorema di integrabilita dove appunto le due condizioni sono equivalenti.. A questo punto mi sorge una domanda: per risolvere il secondo punto non devo fare alcuna parametrizzazione delle figure?? Posso concludere sempre in quel modo?
scusa il testo ti dice che devi calcolare $\gamma$ su $\omega$ sapendo che $\gamma$ è la circonferenza..ecc...
la parametrizzazione della circonferenza (in generale) te l'ho scritta io prima..
devi solo sostituire i dati.. e poi calcolare..
direi che la spiegazione di gugo82, spiega tutto dettagliatamente tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo