Forma compatta derivata n-esima funzione exp
Salve a tutti, avrei un quesito da porre.
Sto provando a svolgere un esercizio in cui occorre provare che per una distribuzione normale standard la funzione generatrice di momenti assume particolari valori se si hanno indici pari o dispari.
Ho eseguito un primo procedimento calcolando lo sviluppo della mgf e poi esplicitando i diversi momenti in funzione degli indici e pare funzionare.
Ora però vorrei eseguire il secondo procedimento che preve per l'utilizzo delle derivate.
Cioè partendo dalla mgf e calcolando la derivata prima in 0 ottengo il momento di ordine 1, per la derivata secondo il momento di ordine 2 e così via. Dunque dovrei scrivere una derivata n-esima da cui in base all'indice ricavare il singolo momento.
L'espressione della mgf è, per la distribuzione studiata:
$ mgf(t)=e^(t^2/2) $
Da cui
$ d(mgf)/dt(t)=d/dt e^(t^2/2)=te^(t^2/2) $
Perciò in $ t=0 $ vale $ 0 $
La derivata seconda vale $ 1 $
La derivata terza vale $ 0 $
La derivata quarta vale $ 3 $
La derivata quinta vale $ 0 $
La derivata sesta vale $ 5 $
Come si può evincere per indici dispari vale zero, mentre per indici pari assume valori di un semi fattoriale. Vorrei generalizzare questo discorso.
Ora avrei bisogno di ricavare una forma compatta per la derivata n-esima di $ e^(t^2/2) $
Ho spiegato il problema nel dettaglio, sperando di non aver annoiato, anche se in realtà è un problema che esula dal contesto questo sulla derivata. Grazie
P.s.: essendo il mio primo post spero di non aver fatto errori contro il regolamento.
Sto provando a svolgere un esercizio in cui occorre provare che per una distribuzione normale standard la funzione generatrice di momenti assume particolari valori se si hanno indici pari o dispari.
Ho eseguito un primo procedimento calcolando lo sviluppo della mgf e poi esplicitando i diversi momenti in funzione degli indici e pare funzionare.
Ora però vorrei eseguire il secondo procedimento che preve per l'utilizzo delle derivate.
Cioè partendo dalla mgf e calcolando la derivata prima in 0 ottengo il momento di ordine 1, per la derivata secondo il momento di ordine 2 e così via. Dunque dovrei scrivere una derivata n-esima da cui in base all'indice ricavare il singolo momento.
L'espressione della mgf è, per la distribuzione studiata:
$ mgf(t)=e^(t^2/2) $
Da cui
$ d(mgf)/dt(t)=d/dt e^(t^2/2)=te^(t^2/2) $
Perciò in $ t=0 $ vale $ 0 $
La derivata seconda vale $ 1 $
La derivata terza vale $ 0 $
La derivata quarta vale $ 3 $
La derivata quinta vale $ 0 $
La derivata sesta vale $ 5 $
Come si può evincere per indici dispari vale zero, mentre per indici pari assume valori di un semi fattoriale. Vorrei generalizzare questo discorso.
Ora avrei bisogno di ricavare una forma compatta per la derivata n-esima di $ e^(t^2/2) $
Ho spiegato il problema nel dettaglio, sperando di non aver annoiato, anche se in realtà è un problema che esula dal contesto questo sulla derivata. Grazie
P.s.: essendo il mio primo post spero di non aver fatto errori contro il regolamento.
Risposte
La derivata sesta è 15, altrimenti non si spiegherebbe il semifattoriale.
Potrebbe andar bene una cosa come
$f^((n)) (0) = (1+(-1)^n)/2 * (n-1)!!$ oppure $f^((n)) (0) = (1+cos(n pi))/2 * (n-1)!!$
Potrebbe andar bene una cosa come
$f^((n)) (0) = (1+(-1)^n)/2 * (n-1)!!$ oppure $f^((n)) (0) = (1+cos(n pi))/2 * (n-1)!!$
Grazie per la risposta.
A me usciva 5, avrò sbagliato qualcosa :/
Come hai fatto a generalizzare la formula? L'hai "cucita" su misura oppure hai seguito un procedimento universale?
A me usciva 5, avrò sbagliato qualcosa :/
Come hai fatto a generalizzare la formula? L'hai "cucita" su misura oppure hai seguito un procedimento universale?
Quando si alternano 0 e un numero il giochino di utilizzare $(-1)^n$ o, per chi non ama la forma esponenziale, $cos npi$ è un "procedimento universale", il resto l'ho cucito a misura, facilitata dalla tua affermazione sul semifattoriale.
Ho capito, ti ringrazio per il chiarimento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo