Forma chiusa sommatoria
Salve tutti, non so se è la sezione adatta ma ci provo:
come svolgo una sommatoria di questo tipo?
$ sum_(i = 1)^(N) (sum_(j=i)^(N)(j-i+2))$
qualcuno può mostrarmi i passaggi o al limite linkarmi un qualche documento/tutorial/lezione online che spieghi come fare?
Non mi interessa l'argomento nella sua forma più generale visto che per l'esame che sto studiando non mi troverò mai ad esempio ad affrontare sommatorie con indice che arriva ad infinito (come ho visto in altre "domande"), ma qualche nozione basilare che mi faciliti a svolgere sommatorie di questa tipologia
Ringrazio in anticipo!
come svolgo una sommatoria di questo tipo?
$ sum_(i = 1)^(N) (sum_(j=i)^(N)(j-i+2))$
qualcuno può mostrarmi i passaggi o al limite linkarmi un qualche documento/tutorial/lezione online che spieghi come fare?
Non mi interessa l'argomento nella sua forma più generale visto che per l'esame che sto studiando non mi troverò mai ad esempio ad affrontare sommatorie con indice che arriva ad infinito (come ho visto in altre "domande"), ma qualche nozione basilare che mi faciliti a svolgere sommatorie di questa tipologia
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Beh non saprei consigliarti "documenti" su come risolvere sommatorie finite(anche perché non ne ho mai letti), posso solo offrirti il mio buon senso nella soluzione di questa sommatoria...
Prima di tutto è importante ricordarsi che la somma di una sommatoria chiaramente è uguale alla sommatoria della somma, cioè:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j)-\sum_{j=1}^N(i)+\sum_{j=1}^N(2)\right)
$$
Questo fatto è fondamentale e lo utilizzerò di seguito continuamente, saltando questo passaggio intermedio che ti ho scritto qui per chiarezza.
Ora basta Notare che nella sommatoria all'interno stai sommando solo su $j$ quindi gli altri termini sono semplicemente sommati tali e quali $N$ volte... e come ben sai questa è la definizione di moltiplicazione, quindi il primo passaggio sarà:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(2N-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Dove ho applicato quella considerazione una volta ad $i$ e due volte a $2$ , ora applicando la prima cosa che ti ho detto ci troviamo con
$$
2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Ora possiamo raccogliere $N$ fuori dalla prima sommatoria visto che moltiplica tutti gli indici e non dipende da $i$ , mentre l'argomento della seconda sommatoria anche se è una sommatoria, non dipende da $i$ quindi stiamo sommando $N$ volte la sommatoria in $j$ che è di nuovo la definizione di moltiplicazione per $N$ quindi otteniamo :
$$
2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj
$$
Ci siamo ricongiunti ad una sommatoria notevole, ovvero la sommatoria di Gauss che come è noto da fine '700 è pari a $\frac{N(N+1)}{2}$ quindi otteniamo per concludere che
$$
2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj=2N^2-N\cdot\frac{N(N+1)}{2}+N\frac{N(N+1)}{2}=2N^2
$$
Ovviamente non c'era bisogno di applicare la sommatoria di Gauss, infatti si vede subito che la sommatoria in $i$ era uguale ma con segno opposto, alla sommatoria in $j$ e che quindi la loro somma era zero, ma in questo modo ti ho fatto vedere anche una sommatoria notevole che torna spesso utile, ad esempio nel caso non ci fosse stato quel meno davanti alla $i$
Prima di tutto è importante ricordarsi che la somma di una sommatoria chiaramente è uguale alla sommatoria della somma, cioè:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j)-\sum_{j=1}^N(i)+\sum_{j=1}^N(2)\right)
$$
Questo fatto è fondamentale e lo utilizzerò di seguito continuamente, saltando questo passaggio intermedio che ti ho scritto qui per chiarezza.
Ora basta Notare che nella sommatoria all'interno stai sommando solo su $j$ quindi gli altri termini sono semplicemente sommati tali e quali $N$ volte... e come ben sai questa è la definizione di moltiplicazione, quindi il primo passaggio sarà:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(2N-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Dove ho applicato quella considerazione una volta ad $i$ e due volte a $2$ , ora applicando la prima cosa che ti ho detto ci troviamo con
$$
2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Ora possiamo raccogliere $N$ fuori dalla prima sommatoria visto che moltiplica tutti gli indici e non dipende da $i$ , mentre l'argomento della seconda sommatoria anche se è una sommatoria, non dipende da $i$ quindi stiamo sommando $N$ volte la sommatoria in $j$ che è di nuovo la definizione di moltiplicazione per $N$ quindi otteniamo :
$$
2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj
$$
Ci siamo ricongiunti ad una sommatoria notevole, ovvero la sommatoria di Gauss che come è noto da fine '700 è pari a $\frac{N(N+1)}{2}$ quindi otteniamo per concludere che
$$
2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj=2N^2-N\cdot\frac{N(N+1)}{2}+N\frac{N(N+1)}{2}=2N^2
$$
Ovviamente non c'era bisogno di applicare la sommatoria di Gauss, infatti si vede subito che la sommatoria in $i$ era uguale ma con segno opposto, alla sommatoria in $j$ e che quindi la loro somma era zero, ma in questo modo ti ho fatto vedere anche una sommatoria notevole che torna spesso utile, ad esempio nel caso non ci fosse stato quel meno davanti alla $i$
"Bossmer":
Beh non saprei consigliarti "documenti" su come risolvere sommatorie finite(anche perché non ne ho mai letti), posso solo offrirti il mio buon senso nella soluzione di questa sommatoria...
Prima di tutto è importante ricordarsi che la somma di una sommatoria chiaramente è uguale alla sommatoria della somma, cioè:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j)-\sum_{j=1}^N(i)+\sum_{j=1}^N(2)\right)
$$
Questo fatto è fondamentale e lo utilizzerò di seguito continuamente, saltando questo passaggio intermedio che ti ho scritto qui per chiarezza.
Ora basta Notare che nella sommatoria all'interno stai sommando solo su $j$ quindi gli altri termini sono semplicemente sommati tali e quali $N$ volte... e come ben sai questa è la definizione di moltiplicazione, quindi il primo passaggio sarà:
$$
\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^N(j-i+2)\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(2N-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Dove ho applicato quella considerazione una volta ad $i$ e due volte a $2$ , ora applicando la prima cosa che ti ho detto ci troviamo con
$$
2N^2+\sum_{i=1}^{N}\left(-iN+\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)
$$
Ora possiamo raccogliere $N$ fuori dalla prima sommatoria visto che moltiplica tutti gli indici e non dipende da $i$ , mentre l'argomento della seconda sommatoria anche se è una sommatoria, non dipende da $i$ quindi stiamo sommando $N$ volte la sommatoria in $j$ che è di nuovo la definizione di moltiplicazione per $N$ quindi otteniamo :
$$
2N^2-\sum_{i=1}^{N}(iN)+\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^Nj\right)=2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj
$$
Ci siamo ricongiunti ad una sommatoria notevole, ovvero la sommatoria di Gauss che come è noto da fine '700 è pari a $\frac{N(N+1)}{2}$ quindi otteniamo per concludere che
$$
2N^2-N\sum_{i=1}^{N}i+N\sum_{j=1}^Nj=2N^2-N\cdot\frac{N(N+1)}{2}+N\frac{N(N+1)}{2}=2N^2
$$
Ovviamente non c'era bisogno di applicare la sommatoria di Gauss, infatti si vede subito che la sommatoria in $i$ era uguale ma con segno opposto, alla sommatoria in $j$ e che quindi la loro somma era zero, ma in questo modo ti ho fatto vedere anche una sommatoria notevole che torna spesso utile, ad esempio nel caso non ci fosse stato quel meno davanti alla $i$
ciao! scusa se ti rispondo solo ora ma ho avuto dei problemi...
la seconda sommatoria però parte da j=i non da j=1 :/ credo che cambi qualcosa no=?
Oddio scusa,
Non ho ancora preso gli occhiali, ed ho letto $1$ al posto di $i$ ...
Allora si cambia qualcosa... prima di ogni cosa avere una dipendenza da $i$ in basso è molto scomodo, quindi ci conviene trovare un modo per "portarla in alto", quindi riflettiamo solo sulla sommatoria interna:
\[ \sum_{j=i}^N(j-i+2) \]
Questa sommatoria fa assumere a $j$ i valori $i,i+1,i+2$ fino ad $N=i+n$ quindi i termini della sommatoria saranno:
$$
i-i+2=2
\\
i+1-i+2=3
\\
i+2-i+2=4
\\
\cdots
\\
N-i+2=i+n-i+2=n+2
$$
Quindi questa sommatoria può essere riscritta come
$$
\sum_{k=2}^{n+2}k=-1+\sum_{k=1}^{n+2}k=\frac{n+2}{2}(n+2+1)-1=\frac{n+2}{2}(n+3)-1
$$
Dove il risultato finale lo otteniamo grazie al fatto che ci siamo ricondotti alla sommatoria di Gauss che parte appunto da $1$ e non da $2$.
Quindi abbiamo risolto la sommatoria interna, ora la sostituiamo, ottenendo che
\[ \sum_{i=1}^N\left(\sum_{j=i}^N(j-i+2) \right)= \sum_{i=1}^N\left(\frac{n+2}{2}(n+3)-1\right) \]
Ora è chiaro che $n=n(i)$ perché $n=N-i$ quindi dipende dal valore di $i$ dunque sostituiamo $n=N-i$ ottenendo:
$$
\sum_{i=1}^N\left(\frac{N-i+2}{2}(N-i+3)-1 \right) = -N+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(N^2+i^2+6-2Ni-5i+5N\right)
$$
Dove $-N$ l'abbiamo ottenuto come ti ho spiegato nel post precedente (portando fuori il $-1$) allo stesso modo otteniamo tutti i termini che non moltiplicano $i$ Quindi otteniamo:
$$
-N+\frac{1}{2}\left[N^3+5N^2+6N+\sum_{i=1}^N i^2-(2N+5)\sum_{i=1}^Ni\right]
$$
Dove l'ultima è ancora una sommatoria di Gauss, mentre quella con $i^2$ è un altra sommatoria notevole che si può ricavare a partire dalla sommatoria di Gauss, tuttavia è un po' articolato e penso esuli dall'esercizio, vale in ogni caso la relazione
$$
\sum_{i=1}^N i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
$$
Che possiamo subito applicare, ottenendo il risultato finale:
$$
-N+\frac{1}{2}\left[N^3+5N^2+6N+\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-(2N+5)\frac{N(N+1)}{2}\right]=\frac{N^3+6N^2+5N}{6}
$$
(salvo che non abbia fatto qualche mero errore di conto)
Non ho ancora preso gli occhiali, ed ho letto $1$ al posto di $i$ ...
Allora si cambia qualcosa... prima di ogni cosa avere una dipendenza da $i$ in basso è molto scomodo, quindi ci conviene trovare un modo per "portarla in alto", quindi riflettiamo solo sulla sommatoria interna:
\[ \sum_{j=i}^N(j-i+2) \]
Questa sommatoria fa assumere a $j$ i valori $i,i+1,i+2$ fino ad $N=i+n$ quindi i termini della sommatoria saranno:
$$
i-i+2=2
\\
i+1-i+2=3
\\
i+2-i+2=4
\\
\cdots
\\
N-i+2=i+n-i+2=n+2
$$
Quindi questa sommatoria può essere riscritta come
$$
\sum_{k=2}^{n+2}k=-1+\sum_{k=1}^{n+2}k=\frac{n+2}{2}(n+2+1)-1=\frac{n+2}{2}(n+3)-1
$$
Dove il risultato finale lo otteniamo grazie al fatto che ci siamo ricondotti alla sommatoria di Gauss che parte appunto da $1$ e non da $2$.
Quindi abbiamo risolto la sommatoria interna, ora la sostituiamo, ottenendo che
\[ \sum_{i=1}^N\left(\sum_{j=i}^N(j-i+2) \right)= \sum_{i=1}^N\left(\frac{n+2}{2}(n+3)-1\right) \]
Ora è chiaro che $n=n(i)$ perché $n=N-i$ quindi dipende dal valore di $i$ dunque sostituiamo $n=N-i$ ottenendo:
$$
\sum_{i=1}^N\left(\frac{N-i+2}{2}(N-i+3)-1 \right) = -N+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(N^2+i^2+6-2Ni-5i+5N\right)
$$
Dove $-N$ l'abbiamo ottenuto come ti ho spiegato nel post precedente (portando fuori il $-1$) allo stesso modo otteniamo tutti i termini che non moltiplicano $i$ Quindi otteniamo:
$$
-N+\frac{1}{2}\left[N^3+5N^2+6N+\sum_{i=1}^N i^2-(2N+5)\sum_{i=1}^Ni\right]
$$
Dove l'ultima è ancora una sommatoria di Gauss, mentre quella con $i^2$ è un altra sommatoria notevole che si può ricavare a partire dalla sommatoria di Gauss, tuttavia è un po' articolato e penso esuli dall'esercizio, vale in ogni caso la relazione
$$
\sum_{i=1}^N i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
$$
Che possiamo subito applicare, ottenendo il risultato finale:
$$
-N+\frac{1}{2}\left[N^3+5N^2+6N+\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-(2N+5)\frac{N(N+1)}{2}\right]=\frac{N^3+6N^2+5N}{6}
$$
(salvo che non abbia fatto qualche mero errore di conto)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo