Forma canonica per EDP parabolica

Alxxx28
Devo canonizzare l'equazione del calore omogemea
[tex]$u_t-a^2 u_{x x}=0$[/tex]
Dopo aver determinato l' unica famiglia di linee caratteristiche ovvero

[tex]$\xi=t$[/tex],
ho posto [tex]$\eta=x$[/tex]
e son passato a considerare la seguente funzione [tex]V[/tex] tale che

[tex]V(\xi, \eta)=V(t,x)=u(x,t)[/tex]

Ho calcolato le seguenti derivate:

[tex]u_x = V_\eta[/tex]
[tex]u_{x x} = V_{\eta \eta}[/tex]
[tex]u_t = V_\xi[/tex]

E a questo punto, sostituendo nella EDP iniziale ottengo:[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]
Ora, per ricavare la funzione [tex]V(\xi,\eta)[/tex] ho provato a procedere così:
integrando rispetto a [tex]\eta[/tex] risulta
[tex]\int V_\xi d \eta =a^2 \int V_{\eta \eta} d \eta \Rightarrow \eta V_\xi = a^2 V_\eta[/tex]

e dopo, integrando nuovamente rispetto a [tex]\eta[/tex] si ottiene:
[tex]\frac {\eta^2 V_\xi}{2}=a^2 V[/tex]
Questa però è ancora un' equazione a derivate parziali ancora, potreste dirmi dove sbaglio?

Grazie mille in anticipo :)

Risposte
Alxxx28
Forse sarà una cosa molto banale, però non riesco a risolvere il problema.
Qualche suggerimento?

Rigel1
Personalmente non ho capito cosa stai facendo.
(In genere le linee caratteristiche si usano per le equazioni del primo ordine.)

Alxxx28
Il mio obiettivo è di trovare la soluzione della seguente forma canonica

[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]

"Rigel":
(In genere le linee caratteristiche si usano per le equazioni del primo ordine.)

Di equazioni del primo ordine non ne so nulla :?
però nel corso che ho seguito, per risolvere problemi di Cauchy è stato
usato il metodo delle caratteristiche

Rigel1
La soluzione dipende da dove varia $x$ (in un intervallo, su tutto $\mathbb{R}$?).
Se $x$ varia in un intervallo compatto e hai condizioni al bordo puoi usare il metodo di separazione delle variabili.
Se $x$ varia in $\mathbb{R}$ e hai un dato iniziale al tempo $t=0$, costruisci la soluzione per convoluzione del dato iniziale e della soluzione fondamentale dell'equazione del calore.

ciampax
Mi permetto di aggiungere una cosa: l'equazione [tex]$u_t-a^2 u_{xx}=0$[/tex] è già in forma canonica!

Forse quello che cerchi è la soluzione fondamentale (che alcuni chiamano "canonica") per l'equazione del calore?

Alxxx28
"Rigel":
convoluzione del dato iniziale

questo concetto mi è del tutto nuovo :?
Comunque [tex]x[/tex] varia in [tex]\mathbb{R}[/tex], quindi ho solo la condizione iniziale.
Nel caso delle equazioni iperboliche la forma canonica m viene del tipo:

[tex]V_{\xi \eta}=f(\xi, \eta)[/tex] e quindi non ho problemi nel ricavare la soluzione generale [tex]V(\xi,\eta)[/tex]
che ad esempio può venire del tipo [tex]V(\xi,\eta) = \xi + g(\xi) + h(\eta)[/tex]

"ciampax":
Mi permetto di aggiungere una cosa: l'equazione [tex]$u_t-a^2 u_{xx}=0$[/tex] è già in forma canonica!


:oops: infatti, che stupido [ot] per non essere volgare [/ot] !

Comunque nel corso da me seguito viene chiamata soluzione generale.
In riferimento all' esempio fatto sopra, riguardo le iperboliche, [tex]g(\xi)[/tex] e [tex]h(\eta)[/tex] le ricavo successivamente
attraverso le condizioni iniziali, e in quest' ultimo passaggio non trovo difficoltà.

Spero di essere stato chiaro nell' esprimermi

Alxxx28
in cosa consiste la convoluzione del dato iniziale?
si può spiegare brevemente?

Rigel1

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.