Forma canonica per EDP parabolica
Devo canonizzare l'equazione del calore omogemea
[tex]$u_t-a^2 u_{x x}=0$[/tex]
Dopo aver determinato l' unica famiglia di linee caratteristiche ovvero
[tex]$\xi=t$[/tex],
ho posto [tex]$\eta=x$[/tex]
e son passato a considerare la seguente funzione [tex]V[/tex] tale che
[tex]V(\xi, \eta)=V(t,x)=u(x,t)[/tex]
Ho calcolato le seguenti derivate:
[tex]u_x = V_\eta[/tex]
[tex]u_{x x} = V_{\eta \eta}[/tex]
[tex]u_t = V_\xi[/tex]
E a questo punto, sostituendo nella EDP iniziale ottengo:[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]
Ora, per ricavare la funzione [tex]V(\xi,\eta)[/tex] ho provato a procedere così:
integrando rispetto a [tex]\eta[/tex] risulta
[tex]\int V_\xi d \eta =a^2 \int V_{\eta \eta} d \eta \Rightarrow \eta V_\xi = a^2 V_\eta[/tex]
e dopo, integrando nuovamente rispetto a [tex]\eta[/tex] si ottiene:
[tex]\frac {\eta^2 V_\xi}{2}=a^2 V[/tex]
Questa però è ancora un' equazione a derivate parziali ancora, potreste dirmi dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo
[tex]$u_t-a^2 u_{x x}=0$[/tex]
Dopo aver determinato l' unica famiglia di linee caratteristiche ovvero
[tex]$\xi=t$[/tex],
ho posto [tex]$\eta=x$[/tex]
e son passato a considerare la seguente funzione [tex]V[/tex] tale che
[tex]V(\xi, \eta)=V(t,x)=u(x,t)[/tex]
Ho calcolato le seguenti derivate:
[tex]u_x = V_\eta[/tex]
[tex]u_{x x} = V_{\eta \eta}[/tex]
[tex]u_t = V_\xi[/tex]
E a questo punto, sostituendo nella EDP iniziale ottengo:[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]
Ora, per ricavare la funzione [tex]V(\xi,\eta)[/tex] ho provato a procedere così:
integrando rispetto a [tex]\eta[/tex] risulta
[tex]\int V_\xi d \eta =a^2 \int V_{\eta \eta} d \eta \Rightarrow \eta V_\xi = a^2 V_\eta[/tex]
e dopo, integrando nuovamente rispetto a [tex]\eta[/tex] si ottiene:
[tex]\frac {\eta^2 V_\xi}{2}=a^2 V[/tex]
Questa però è ancora un' equazione a derivate parziali ancora, potreste dirmi dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Forse sarà una cosa molto banale, però non riesco a risolvere il problema.
Qualche suggerimento?
Qualche suggerimento?
Personalmente non ho capito cosa stai facendo.
(In genere le linee caratteristiche si usano per le equazioni del primo ordine.)
(In genere le linee caratteristiche si usano per le equazioni del primo ordine.)
Il mio obiettivo è di trovare la soluzione della seguente forma canonica
[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]
Di equazioni del primo ordine non ne so nulla
però nel corso che ho seguito, per risolvere problemi di Cauchy è stato
usato il metodo delle caratteristiche
[tex]V_\xi- a^2 V_{\eta \eta} =0[/tex]
"Rigel":
(In genere le linee caratteristiche si usano per le equazioni del primo ordine.)
Di equazioni del primo ordine non ne so nulla
però nel corso che ho seguito, per risolvere problemi di Cauchy è stato
usato il metodo delle caratteristiche
La soluzione dipende da dove varia $x$ (in un intervallo, su tutto $\mathbb{R}$?).
Se $x$ varia in un intervallo compatto e hai condizioni al bordo puoi usare il metodo di separazione delle variabili.
Se $x$ varia in $\mathbb{R}$ e hai un dato iniziale al tempo $t=0$, costruisci la soluzione per convoluzione del dato iniziale e della soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
Se $x$ varia in un intervallo compatto e hai condizioni al bordo puoi usare il metodo di separazione delle variabili.
Se $x$ varia in $\mathbb{R}$ e hai un dato iniziale al tempo $t=0$, costruisci la soluzione per convoluzione del dato iniziale e della soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
Mi permetto di aggiungere una cosa: l'equazione [tex]$u_t-a^2 u_{xx}=0$[/tex] è già in forma canonica!
Forse quello che cerchi è la soluzione fondamentale (che alcuni chiamano "canonica") per l'equazione del calore?
Forse quello che cerchi è la soluzione fondamentale (che alcuni chiamano "canonica") per l'equazione del calore?
"Rigel":
convoluzione del dato iniziale
questo concetto mi è del tutto nuovo
Comunque [tex]x[/tex] varia in [tex]\mathbb{R}[/tex], quindi ho solo la condizione iniziale.
Nel caso delle equazioni iperboliche la forma canonica m viene del tipo:
[tex]V_{\xi \eta}=f(\xi, \eta)[/tex] e quindi non ho problemi nel ricavare la soluzione generale [tex]V(\xi,\eta)[/tex]
che ad esempio può venire del tipo [tex]V(\xi,\eta) = \xi + g(\xi) + h(\eta)[/tex]
"ciampax":
Mi permetto di aggiungere una cosa: l'equazione [tex]$u_t-a^2 u_{xx}=0$[/tex] è già in forma canonica!
infatti, che stupido [ot] per non essere volgare [/ot] !Comunque nel corso da me seguito viene chiamata soluzione generale.
In riferimento all' esempio fatto sopra, riguardo le iperboliche, [tex]g(\xi)[/tex] e [tex]h(\eta)[/tex] le ricavo successivamente
attraverso le condizioni iniziali, e in quest' ultimo passaggio non trovo difficoltà.
Spero di essere stato chiaro nell' esprimermi
in cosa consiste la convoluzione del dato iniziale?
si può spiegare brevemente?
si può spiegare brevemente?
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