Forma asintotica di un integrale oscillante

[rothbard]

Salve, sono un ex-fisico teorico, da diversi anni lavoro con la matematica finanziaria. Un problema che occorre a volte in finanza e' di dover calcolare il valore approssimato di un integrale tipo

[tex]F(\lambda)=\int_{-\infty}^\infty e^{i\lambda x} f(x)\, dx,[/tex]

dove [tex]f(x)[/tex] e' una funzione integrabile e [tex]\lambda[/tex] e' un parametro reale, per [tex]|\lambda|\to 0[/tex]. So che ci sono tecniche come il "metodo delle fasi stazionarie", che permettono di approssimare questi integrali oscillanti quando [tex]\lambda[/tex] e' grande, e mi chiedo se ci sia qualche altro metodo che si possa usare quando il parametro e' piccolo in valore assoluto.

In un caso particolare, per esempio ho

[tex]f(x)=\frac{(a^2+x^2)^{-b}}{x+ic},[/tex]

dove [tex]a,b,c>0[/tex] e [tex]b<<1[/tex].

[dissonance]

Benvenuto tra noi! Tanto per inaugurare il discorso, lascio una banalissima osservazione: essendo la funzione $f$ di classe $L^1(RR)$, certamente la funzione $F$ è continua, cosicché una cruda approssimazione di $F(lambda)$ per $|lambda|$ piccolo è

$int_{\infty}^infty f(x)dx$.

[rothbard]

"dissonance":Benvenuto tra noi! Tanto per inaugurare il discorso, lascio una banalissima osservazione: essendo la funzione $f$ di classe $L^1(RR)$, certamente la funzione $F$ è continua, cosicché una cruda approssimazione di $F(lambda)$ per $|lambda|$ piccolo è

$int_{\infty}^infty f(x)dx$.

Ciao, grazie per la risposta. Si', in effetti pensavo a un'approssimazione del tipo $F(\lambda) = F(0) + \ldots$. Nel caso particolare che stavo esaminando, pensavo a qualcosa come $F(\lambda)=F(0)+C\lambda^{-a} + o(\lambda^{-a})$, dove $a>0$. Intuitivamente mi sembra che un'espressione asintotica del genere debba esistere, ma non sono affatto sicuro di come trovarla.