Forma algebrica numero complesso
Determinare la forma algebrica del numero complesso :
$z=(2/(sqrt3-i)+1/i)^1101$
non riesco a capire, come devo procedere ?
$z=(2/(sqrt3-i)+1/i)^1101$
non riesco a capire, come devo procedere ?
Risposte
Intanto prova a scrivere meglio quelo che hai dentro la parentesi, svolgendo quella somma; dovresti trovare
$(sqrt(3) + i)/(1+sqrt(3)*i)$
a questo punto prova a passare alla forma esponenziale.
$(sqrt(3) + i)/(1+sqrt(3)*i)$
a questo punto prova a passare alla forma esponenziale.
Stavo provando a farlo anche io e mi viene all'interno delle parentesi così
$(i+sqrt(3))/(i(sqrt(3)-i))$
Poi come si procede?
$(i+sqrt(3))/(i(sqrt(3)-i))$
Poi come si procede?
Scrivi numeratore e denominatore in forma esponenziale; il rapporto e l'elevamento a potenza diventano così quasi immediati
Ma l'esponente è un numero binario giusto? Sarebbe 13, xò non ho capito. Ho messo numeratore e denominatore sotto esponenziale singolarmente e poi?
Non credo sia un numero binario l'esponente, e non sono sicuro di aver capito cosa hai fatto a numeratore e denominatore. Comunque aspetta una risposta di Josephine prima di postare i calcoli
Ma l'esponente è un numero binario giusto? Sarebbe 13, xò non ho capito. Ho messo numeratore e denominatore sotto esponenziale singolarmente e poi?
No l'esponenete non è un numero binario
Scrivi numeratore e denominatore in forma esponenziale
Grazie Strangolatoremancino mi ritrovo con i passaggi fatti in parentesi ma non capisco come scriverli in forma esponenziale.
Ad esempio al numeratore abbiamo il numero complesso in forma algebrica
$sqrt(3) + i$, con $a=sqrt(3)$ e $b=1$
determiniamo il suo modulo $rho$
$rho=sqrt(a^2+b^2)=2$
e il suo argomento $theta$
$theta=arctg(b/a)=arctg(1/sqrt(3))=pi/6$
e quindi il numeratore si scrive $2*e^(i*pi/6)$, se non ho preso abbagli
$sqrt(3) + i$, con $a=sqrt(3)$ e $b=1$
determiniamo il suo modulo $rho$
$rho=sqrt(a^2+b^2)=2$
e il suo argomento $theta$
$theta=arctg(b/a)=arctg(1/sqrt(3))=pi/6$
e quindi il numeratore si scrive $2*e^(i*pi/6)$, se non ho preso abbagli
allora ho continuato a risolverlo come mi hai suggerito e dopo aver trasformato all'esponenziale la frazione mi ritrovo
$z=(e^(-i*pi/6))^1101$ e ora ?
p.s.
non sono tanto sicura di questa formula perchè non l'ho mai usata ? sicuro che sia così ?
$z=(e^(-i*pi/6))^1101$ e ora ?
p.s.
"strangolatoremancino":
e quindi il numeratore si scrive $2*e^(i*pi/6)$, se non ho preso abbagli
non sono tanto sicura di questa formula perchè non l'ho mai usata ? sicuro che sia così ?
Prova a dare un'occhiata qui per la rappresentazione esponenziale
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_dei_numeri_complessi#Rappresentazione_polare
e qui per concludere l'esercizio
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso#Potenze
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_dei_numeri_complessi#Rappresentazione_polare
e qui per concludere l'esercizio
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso#Potenze
e qui per concludere l'esercizio
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso#Potenze
Scusa ma devo usare questa regola : $z^n=rho^n*(cos(n*theta)+i*sen(n*theta))$
dove nel mio caso $n=1101$ e $theta=pi/3$ ????
mi sembra strano che debba moltiplicare $1101*pi/3$
Ti ricordo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e se i loro argomenti differiscono per un multiplo intero di $2*pi$. Ciò significa che se ti ritrovi un numero che ha argomento $201*pi$, esso è equivalente al numero complesso di argomento $pi$, in quanto essi differiscono per $2*k*pi$, con $k=100$.
Detto brutalmente, aumentando il modulo ti allontani sempre più dall'origine, ma aumentando l'argomento non fai altro che girare in tondo, e ogni $2*pi$ ti ritrovi al punto di partenza.
Detto brutalmente, aumentando il modulo ti allontani sempre più dall'origine, ma aumentando l'argomento non fai altro che girare in tondo, e ogni $2*pi$ ti ritrovi al punto di partenza.
"strangolatoremancino":
Ciò significa che se ti ritrovi un numero che ha argomento $201*pi$, esso è equivalente al numero complesso di argomento $pi$, in quanto essi differiscono per $2*k*pi$, con $k=100$.
Mi stai dicendo che il mio numero $1101*pi/3$ equivale a $2*K*pi/3$ dove $K=550$ ??
ma scusa così facendo i due numeri non sono uguali o sbaglio ?
Come concludo l'esercizio ? devo semplicemente calcolarmi i valori di $cos(2*pi/3)+i*sen(2*pi/3)$ ?
scusa il disturbo e grazie ancora
No non è così, i due argomenti devono differire per un multiplo intero di $2*pi$: solitamente quando si ha un argomento "grande", come in questo caso, si cerca di scriverlo della forma
$theta + 2*k*pi$ , con $theta$ compreso tra $0$ e $2*pi$, e $k$ intero.
Fatto questo il tuo numero iniziale è uguale al numero di argomento $theta$.
Prova nel tuo caso a determinare $k$ e $theta$ come sopra tali che
$1101/3*pi=theta + 2*k*pi$
$theta + 2*k*pi$ , con $theta$ compreso tra $0$ e $2*pi$, e $k$ intero.
Fatto questo il tuo numero iniziale è uguale al numero di argomento $theta$.
Prova nel tuo caso a determinare $k$ e $theta$ come sopra tali che
$1101/3*pi=theta + 2*k*pi$
"strangolatoremancino":
Prova nel tuo caso a determinare $k$ e $theta$ come sopra tali che
$1101/3*pi=theta + 2*k*pi$
Potrebbe essere $theta=pi/3$ e $k=550/3$ ??
Se si io ci sono arrivata ragionandoci, c'è un modo per ricavarli analiticamente ?
Quindi ora il mio numero ha $rho=1$ e $theta=pi/3$ , mi basta scrivere $rho*(cos(theta)+i*sen(theta))$ ??
Non funziona, $k$ deve essere intero. Se ci pensi è abbastanza intuitivo, il $2k*pi$ con $k$ intero indica appunto $k$ "giri completi" (in pratica ogni $2*pi$ è una circonferenza) che fai nel piano, ritrovandoti sempre al punto di partenza.
"strangolatoremancino":
Non funziona, $k$ deve essere intero. Se ci pensi è abbastanza intuitivo, il $2k*pi$ con $k$ intero indica appunto $k$ "giri completi" (in pratica ogni $2*pi$ è una circonferenza) che fai nel piano, ritrovandoti sempre al punto di partenza.
E come posso trovare i valori di $k$ e $theta$ allora ?
Intanto $1101/3*pi=367*pi=pi+366*pi$. Riesci a concludere adesso?
"strangolatoremancino":
Intanto $1101/3*pi=367*pi=pi+366*pi$. Riesci a concludere adesso?
$theta=pi$ e $k=183$ ???
e ora mi basta scrivere ρ⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ)) ??
è corretto cio che ho fatto ?
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