Fokker-Planck
Ho diversi dubbi sul significato stesso di equazione di F-P.
Provo a riassumere ciò che ho capito.
Siano $b:[0,T]xx RR^N->RR^N$ e $\sigma:[0,T]xxRR^N->RR^(Nxxd)$ due funzioni misurabili e con crescita (al più) lineare. Dato un processo di Ito multivariato con dinamica $dX_t≔b(t,X_t )dt+σ(t,X_t )dW_t$ e coefficienti deterministico e stocastico pari rispettivamente ad un vettore $Nxx 1$ e ad una matrice $Nxx d$, si assume…
1° dubbio -> …che per ogni combinazione $(t,x)$ inclusa nell'insieme limitato $S_t\inRR^N$ esista uno stato del processo $X^(t,x)$ la cui realizzazione $x$ è soluzione della SDE.
Sia poi $f(X_t)\inC^2(RR^N)$ una funzione continua e due volte derivabile (con derivate definite in $RR^N$) che, essendo funzione di un processo multidimensionale, evolve anch'essa con dinamica multidimensionale (priva tuttavia di derivata rispetto al tempo perchè dipendente soltanto dal processo stesso):
con $c_(i,j)$ componente j-esima della matrice quadrata e simmetrica che si ottiene come prodotto tra la matrice della volatilità $\sigma(t,X_t)=Nxx d$ e la sua trasposta. Dato l'operatore
Considero ora il PdC ${ ( Au-au+(\partiala)/(\partialu)=f ),( u(T,\cdot)=\phi ):}$, con $a,f,\phi$ funzioni note e $u$ funzione generica. Per Feynman-Kac si dimostra che la funzione $u$ valutata nel punto $(t,x)$ è (sotto le ipotesi di regolarità) soluzione del PdC con forma:
Inoltre, dato un nuovo operatore $F:=A_t+\partial_t$ con…
2° dubbio-> …$\partial_t$ derivata di $F$ rispetto al tempo,…
…soluzione pari a $P$ e $\phi$ funzione continua e limitata, si dimostra che $u(t,x)=\int_(RR^N)\phi(y)P(t,x|T,y)dy$ (dove $t,T$ sono istanti di tempo qualsiasi e $P(t,x|T,y)$ la probabilità di transizione del processo $X_t$ dal precedente stato $y$ al tempo $T
Ma se fisso $a,f=0$ ottengo $u(t,x)=mathbb(E)[\phi(X_T)]$, per cui $mathbb(E)[\phi(X_T)]=\int_(RR^N)\phi(y)P(t,x|T,y)dy$.
Siccome $X_t$ è un processo (quindi banalmente definito sul continuo), tale valore atteso non è altro che la definizione di valore atteso per una v.a. continua dove però al posto della funzione di densità di probabilità c'è la funzione di densità di transizione.
3° dubbio -> Potreste chiarirmi il concetto di densità di transizione? Ho chiaro il concetto di probabilità di transizione (quello delle catene di Markov, per intenderci), ma questo di densità mi sfugge.
Infine il testo conclude dicendo (non capisco perché -> 4° dubbio) "se $\exists$ una soluzione di $F=A_t+\partial_t$, tale soluzione è la densità di transizione di $dX_t≔b(t,X_t )dt+σ(t,X_t )dW_t$.
EDIT:
Tutto questo per dire che:
Al dì la comunque dei dubbi sto faticando a capire il senso di tutto questo, la sua stessa utilità pratica
Provo a riassumere ciò che ho capito.
Siano $b:[0,T]xx RR^N->RR^N$ e $\sigma:[0,T]xxRR^N->RR^(Nxxd)$ due funzioni misurabili e con crescita (al più) lineare. Dato un processo di Ito multivariato con dinamica $dX_t≔b(t,X_t )dt+σ(t,X_t )dW_t$ e coefficienti deterministico e stocastico pari rispettivamente ad un vettore $Nxx 1$ e ad una matrice $Nxx d$, si assume…
1° dubbio -> …che per ogni combinazione $(t,x)$ inclusa nell'insieme limitato $S_t\inRR^N$ esista uno stato del processo $X^(t,x)$ la cui realizzazione $x$ è soluzione della SDE.
Sia poi $f(X_t)\inC^2(RR^N)$ una funzione continua e due volte derivabile (con derivate definite in $RR^N$) che, essendo funzione di un processo multidimensionale, evolve anch'essa con dinamica multidimensionale (priva tuttavia di derivata rispetto al tempo perchè dipendente soltanto dal processo stesso):
$df(X_t)=\gradf(X_t )\sigma(t,X_t)dW_t+[1/2\sum_(i,j=1)^Nc_(i,j)(t,X_t) (\partial^2f(X_t))/(\partialX_t^i\partialX_t^j)+\sum_(j=1)^Nb_j(t,X_t) (\partialf(X_t))/(\partialX_t^j)]dt$
con $c_(i,j)$ componente j-esima della matrice quadrata e simmetrica che si ottiene come prodotto tra la matrice della volatilità $\sigma(t,X_t)=Nxx d$ e la sua trasposta. Dato l'operatore
$A_t:=[1/2\sum_(i,j=1)^Nc_(i,j)(t,X_t) (\partial^2)/(\partialX_t^i\partialX_t^j)+\sum_(j=1)^Nb_j(t,X_t) (\partial)/(\partialX_t^j)]$
diventa $df(X_t)=A_tf(X_t)dt+\gradf(X_t )\sigma(t,X_t)dW_t$.Considero ora il PdC ${ ( Au-au+(\partiala)/(\partialu)=f ),( u(T,\cdot)=\phi ):}$, con $a,f,\phi$ funzioni note e $u$ funzione generica. Per Feynman-Kac si dimostra che la funzione $u$ valutata nel punto $(t,x)$ è (sotto le ipotesi di regolarità) soluzione del PdC con forma:
$u(t,x)=mathbb(E)[e^(-\int_(t)^(T)a(s,X_s)ds)\phi(X_T)-\int_(t)^(T)e^(-\int_(t)^(s)a(r,X_r)dr)f(s,X_s)ds] $
Inoltre, dato un nuovo operatore $F:=A_t+\partial_t$ con…
2° dubbio-> …$\partial_t$ derivata di $F$ rispetto al tempo,…
…soluzione pari a $P$ e $\phi$ funzione continua e limitata, si dimostra che $u(t,x)=\int_(RR^N)\phi(y)P(t,x|T,y)dy$ (dove $t,T$ sono istanti di tempo qualsiasi e $P(t,x|T,y)$ la probabilità di transizione del processo $X_t$ dal precedente stato $y$ al tempo $T
Ma se fisso $a,f=0$ ottengo $u(t,x)=mathbb(E)[\phi(X_T)]$, per cui $mathbb(E)[\phi(X_T)]=\int_(RR^N)\phi(y)P(t,x|T,y)dy$.
Siccome $X_t$ è un processo (quindi banalmente definito sul continuo), tale valore atteso non è altro che la definizione di valore atteso per una v.a. continua dove però al posto della funzione di densità di probabilità c'è la funzione di densità di transizione.
3° dubbio -> Potreste chiarirmi il concetto di densità di transizione? Ho chiaro il concetto di probabilità di transizione (quello delle catene di Markov, per intenderci), ma questo di densità mi sfugge.
Infine il testo conclude dicendo (non capisco perché -> 4° dubbio) "se $\exists$ una soluzione di $F=A_t+\partial_t$, tale soluzione è la densità di transizione di $dX_t≔b(t,X_t )dt+σ(t,X_t )dW_t$.
EDIT:
Tutto questo per dire che:
Dato ${X_t}_(t\in[0,T])$ un processo di Ito multivariato e dato un valore iniziale $X_0:=x$, l'equazione di Fokker-Planck è un'equazione alle derivate parziali che descrive l'evoluzione nel tempo della densità di transizione così formalizzata: $\partial_tP=1/2\sum_(i,j=1)^N\partial_(X_i,X_j)(c_(i,j)P)-\sum_(j=1)^N\partial_(X_j)(b_jP)$
Al dì la comunque dei dubbi sto faticando a capire il senso di tutto questo, la sua stessa utilità pratica
Risposte
Rinnovo la discussione perchè ricontrollando (o dovrei dire, provando a capirci qualcosa…) la derivazione dell'equazione fatico davvero a capire questo passaggio. Dato un nuovo operatore $F:=A_t+(\partial)/(\partialt)$ con $A_t$ definito come sopra, non riesco proprio a capire il significato (e quindi come si arrivi a dimostrarlo) della seguente condizione:
io so solo che $u(T,\cdot):=\phi$. e questo è tutto
$\forall \phi \in C(RR^N), u(t,x)=\int_(RR^N) \phi(y)P(t,y|T,x)dy$
io so solo che $u(T,\cdot):=\phi$. e questo è tutto
Non avendo ricevuto risposte chiedo: ho forse sbagliato sezione? Avrei dovuto postare in probabilità? Da quel che ho capito l'equazione di F-P ha applicazioni soprattutto matematico-fisiche
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