FLusso vettore attraverso superficie S

[matriciana1]

data la superficie S di equazioni parametriche
$ { ( x=tcostau ),( y= t sin tau ),( z=e^t -1):} $ $(t,tau) €[0,1][0,2pi]$
determinare il flusso uscente del vettore $v(x,y,z)=y^2z k$

il mio problema è che non riesco a calcolare l'orientamento a vedere se mettere segno $-$ o $+$ davanti all'integrale
(senza usare teorema della divergenza)

[matriciana1]

\begin{aligned} \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits _{\Sigma } \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma} \, d\sigma & = \iint\limits_A \mathbf{F}\left( \mathbf{r}(u,\,v) \right) \cdot \underbrace{\left( \mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v) \right) }_{con \; 3° \, comp. \; non \; positiva} \, du\,dv \\ & = - \int_0^1 u^3\left(e^u - 1\right)\,du \cdot \int_0^{2\pi} \sin^2 v\,dv \\ & = \frac{8\,e - 23}{4}\pi\; . \end{aligned}

non ho capito per quale motivo hai utilizzato il segno $-$