Flusso uscente da un rotore

floppyes
Ciao a tutti!

Non ho capito molto bene come devo fare per calcolare il flusso uscente del rotore attraverso una superficie S.

Testo:
Si consideri la superficie $S={(x,y,z)inR^3 :z=-x^2-y^2-3+4x, z>=0}$ Calcolare il flusso uscente del rotore di $F:R^3->R^3$ attraverso la superficie S, dove
$F(x,y,z)=[4y+2z]i+[(x-2)^2+3ze^z]j+[e^(x+y)+z^2]k$

Soluzione:
Io ho pensato di utilizzare il teorema della divergenza (o Gauss), solo che non riesco a capire come procedere.

Io so che $int int int_V div(F)dxdydz = int int_S Fn$

Dove $div(F)=(dF_1)/(dx)+(dF_2)/(dy)+(dF_3)/(dz)$

Devo quindi calcolarmi prima la divergenza utilizzando la formula delle derivate, e poi calcolare l'integrale doppo utilizzando le coordinate polari?

Grazie mille
Ciao!

Risposte
Demostene92
Non puoi usare il teorema della divergenza perchè la superficie non è chiusa.
Ahimè ti tocca calcolarlo con la definizione:

$\int_{S}rot(\bbF)*ndS$

E comunque per ogni campo $\bbF : F_1, F_2, F_3 \in C^2(\RR^3)$ hai che: $text{div}[rot(\bbF)]=0$, quindi non avrebbe senso.

floppyes
Ciao!

Giusto mi ero dimenticato di controllare la superficie.. Quindi se la superficie è chiusa posso utilizzare il teorema della divergenza, altrimenti devo calcolarlo con l'altro metodo.

Quindi adesso devo calcolare il rotore di F (utilizzando l'apposita matrice), invece la $n$ la calcolo basandomi sulla superficie S giusto?

$n$=$||(dS/dx)xx(dS)/(dy)||

Grazie :)
Ciao!

Demostene92
Si, usi il metodo derivante dalla definizione.

Tieni presente che:

$\bbn=[(\delf)/(\delx)\bbe_1+(\delf)/(\dely)\bbe_2+\bbe_3]/sqrt[[(\delf)/(\delx)]^2+[(\delf)/(\dely)]^2+1]$

ciampax
Osserverei due cose per evitare di perdersi in calcoli senza fine:

1) l'equazione di $S$ può riportarsi nella forma $z=1-y^2-(x-2)^2$ (è un paraboloide rivolto verso il basso con vertice nel punto $V(2,0,1)$) e pertanto, visto che si deve trovare sopra il piano $xOy$ (la condizione $z\ge 0$) a me pare proprio che lo si può pensare come la differenza tra la superficie chiusa "paraboloide+cerchio di intersezione con il piano" meno tale cerchio.

2) a questo punto si può applicare il teorema della divergenza: essendo $S$ la nostra superficie, $C$ il cerchio di base, di equazione $(x-2)^2+y^2=1$ e chiamando $D$ il dominio interno al paraboloide, si vede che $\partial D=S\cup C$. Pertanto da teorema della divergenza

$0=\int\int\int_D \nabla\cdot(\nabla\times F)\ dV=\int\int_{S\cup C)(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$

Ma allora

$\int\int_S(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma=-\int\int_C(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$

Per calcolare il secondo integrale, usa la parametrizzazione

$x=2+\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ con $t\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,1]$.

floppyes
Ciao!
Scusa il ritardo nella risposta.. ho fatto come mi hai detto ed è uscito tutto :)

Grazie mille
Ciao!

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