Flusso uscente da un rotore
Ciao a tutti!
Non ho capito molto bene come devo fare per calcolare il flusso uscente del rotore attraverso una superficie S.
Testo:
Si consideri la superficie $S={(x,y,z)inR^3 :z=-x^2-y^2-3+4x, z>=0}$ Calcolare il flusso uscente del rotore di $F:R^3->R^3$ attraverso la superficie S, dove
$F(x,y,z)=[4y+2z]i+[(x-2)^2+3ze^z]j+[e^(x+y)+z^2]k$
Soluzione:
Io ho pensato di utilizzare il teorema della divergenza (o Gauss), solo che non riesco a capire come procedere.
Io so che $int int int_V div(F)dxdydz = int int_S Fn$
Dove $div(F)=(dF_1)/(dx)+(dF_2)/(dy)+(dF_3)/(dz)$
Devo quindi calcolarmi prima la divergenza utilizzando la formula delle derivate, e poi calcolare l'integrale doppo utilizzando le coordinate polari?
Grazie mille
Ciao!
Non ho capito molto bene come devo fare per calcolare il flusso uscente del rotore attraverso una superficie S.
Testo:
Si consideri la superficie $S={(x,y,z)inR^3 :z=-x^2-y^2-3+4x, z>=0}$ Calcolare il flusso uscente del rotore di $F:R^3->R^3$ attraverso la superficie S, dove
$F(x,y,z)=[4y+2z]i+[(x-2)^2+3ze^z]j+[e^(x+y)+z^2]k$
Soluzione:
Io ho pensato di utilizzare il teorema della divergenza (o Gauss), solo che non riesco a capire come procedere.
Io so che $int int int_V div(F)dxdydz = int int_S Fn$
Dove $div(F)=(dF_1)/(dx)+(dF_2)/(dy)+(dF_3)/(dz)$
Devo quindi calcolarmi prima la divergenza utilizzando la formula delle derivate, e poi calcolare l'integrale doppo utilizzando le coordinate polari?
Grazie mille
Ciao!
Risposte
Non puoi usare il teorema della divergenza perchè la superficie non è chiusa.
Ahimè ti tocca calcolarlo con la definizione:
$\int_{S}rot(\bbF)*ndS$
E comunque per ogni campo $\bbF : F_1, F_2, F_3 \in C^2(\RR^3)$ hai che: $text{div}[rot(\bbF)]=0$, quindi non avrebbe senso.
Ahimè ti tocca calcolarlo con la definizione:
$\int_{S}rot(\bbF)*ndS$
E comunque per ogni campo $\bbF : F_1, F_2, F_3 \in C^2(\RR^3)$ hai che: $text{div}[rot(\bbF)]=0$, quindi non avrebbe senso.
Ciao!
Giusto mi ero dimenticato di controllare la superficie.. Quindi se la superficie è chiusa posso utilizzare il teorema della divergenza, altrimenti devo calcolarlo con l'altro metodo.
Quindi adesso devo calcolare il rotore di F (utilizzando l'apposita matrice), invece la $n$ la calcolo basandomi sulla superficie S giusto?
$n$=$||(dS/dx)xx(dS)/(dy)||
Grazie
Ciao!
Giusto mi ero dimenticato di controllare la superficie.. Quindi se la superficie è chiusa posso utilizzare il teorema della divergenza, altrimenti devo calcolarlo con l'altro metodo.
Quindi adesso devo calcolare il rotore di F (utilizzando l'apposita matrice), invece la $n$ la calcolo basandomi sulla superficie S giusto?
$n$=$||(dS/dx)xx(dS)/(dy)||
Grazie
Ciao!
Si, usi il metodo derivante dalla definizione.
Tieni presente che:
Tieni presente che:
$\bbn=[(\delf)/(\delx)\bbe_1+(\delf)/(\dely)\bbe_2+\bbe_3]/sqrt[[(\delf)/(\delx)]^2+[(\delf)/(\dely)]^2+1]$
Osserverei due cose per evitare di perdersi in calcoli senza fine:
1) l'equazione di $S$ può riportarsi nella forma $z=1-y^2-(x-2)^2$ (è un paraboloide rivolto verso il basso con vertice nel punto $V(2,0,1)$) e pertanto, visto che si deve trovare sopra il piano $xOy$ (la condizione $z\ge 0$) a me pare proprio che lo si può pensare come la differenza tra la superficie chiusa "paraboloide+cerchio di intersezione con il piano" meno tale cerchio.
2) a questo punto si può applicare il teorema della divergenza: essendo $S$ la nostra superficie, $C$ il cerchio di base, di equazione $(x-2)^2+y^2=1$ e chiamando $D$ il dominio interno al paraboloide, si vede che $\partial D=S\cup C$. Pertanto da teorema della divergenza
$0=\int\int\int_D \nabla\cdot(\nabla\times F)\ dV=\int\int_{S\cup C)(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$
Ma allora
$\int\int_S(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma=-\int\int_C(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$
Per calcolare il secondo integrale, usa la parametrizzazione
$x=2+\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ con $t\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,1]$.
1) l'equazione di $S$ può riportarsi nella forma $z=1-y^2-(x-2)^2$ (è un paraboloide rivolto verso il basso con vertice nel punto $V(2,0,1)$) e pertanto, visto che si deve trovare sopra il piano $xOy$ (la condizione $z\ge 0$) a me pare proprio che lo si può pensare come la differenza tra la superficie chiusa "paraboloide+cerchio di intersezione con il piano" meno tale cerchio.
2) a questo punto si può applicare il teorema della divergenza: essendo $S$ la nostra superficie, $C$ il cerchio di base, di equazione $(x-2)^2+y^2=1$ e chiamando $D$ il dominio interno al paraboloide, si vede che $\partial D=S\cup C$. Pertanto da teorema della divergenza
$0=\int\int\int_D \nabla\cdot(\nabla\times F)\ dV=\int\int_{S\cup C)(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$
Ma allora
$\int\int_S(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma=-\int\int_C(\nabla\times F)\cdot n\ d\sigma$
Per calcolare il secondo integrale, usa la parametrizzazione
$x=2+\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ con $t\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,1]$.
Ciao!
Scusa il ritardo nella risposta.. ho fatto come mi hai detto ed è uscito tutto
Grazie mille
Ciao!
Scusa il ritardo nella risposta.. ho fatto come mi hai detto ed è uscito tutto
Grazie mille
Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo