Flusso Teorema Divergenza

sici_90
Ciao a tutti,
Mi servirebbe una mano con il seguente esercizio:
determinare il flusso del campo $F=(x,z^2,y^2z)$ attraverso la superficie $z=\sqrt(x^2+y^2)$ con $1\leqx^2+y^2\leq4$
orientata con la normale verso l'alto.
allora io ho pensato di applicare il teorema della divergenza.
la superficie in questione è il tronco di cono delimitato dai piani z=1 e z=4 (e quindi dalle circonferenze di raggio 1 e 2 )
allora cominciamo con il calcolo della divergenza di F:
$divF=(\partial(x))/(\partial(x))+(\partial(z^2))/(\partial(y))+(\partial(y^2z))/(\partial(z))=y^2+1$
ora consideriamo le coordinate coniche:
$x=hsen(t)$
$y=hcos(t)$ con $h\in[1,2]$ e $t\in[0,2\pi]$
$z=h$
allora applichiamo il teorema della divergenza:
$\int(F,\nu)=\int\int(h^2cos^2(t)+1)dhdt$
quindi
$\int\int(h^2cos^2(t))dhdt=\int(dh)\int(h^2cos^2(t)+1)dt$
dove gli estremi del primo integrale sono 1 e 2 ; quelli del secondo sono 0 ,$2\pi$
ora il risultato di tale integrale è $(13\pi)/3$
credo di aver svolto correttamente l'integrale , ma vorrei una vostra conferma.
ora il dilemma:quando sottraggo i flussi attraverso le 2 superfici "tappo" ovvero le due circonferenze di raggio 1 e 2 ottengo che il flusso è nullo, e sono quasi sicuro che non è corretto.
vi scrivo il procedimento.
dunque abbiamo detto che il flusso totale è:
$(13\pi)/(3)-\int\int(\rho^2sen^2(t)+1)d\rhodt$
dove l'integrando l'ho ottenuto considerando le equazioni parametriche della circonferenza:
$x=\rhocos(t)$
$y=\rhosen(t)$ con $\rho\in[1,2]$ e $t\in[0,2\pi]$
questo integrale è identico al precedente e quindi anche qui il risultato è $(13\pi)/(3)$
e quindi il flusso totale è nullo.
ora vorrei sapere da voi se c'è qualche errore, sia concettuale che di calcoli.
Grazie!

Risposte
sici_90
Grazie mille.
Avevo già risolto l esercizio applicando la definizione di flusso, e ho ottenuto lo stesso risultato.
Tuttavia non mi sono ben chiaro alcuni passaggi dell applicazione del teorema della divergenza.
Espongo i miei dubbi:
Per quanto riguarda l integrale triplo esteso alla superficie laterale del tronco di cono,
Trovo più facile passare in coordinate coniche (mi risultano più evidenti gli estremi di integrazione).
$x=\rhocos(t) $
$y=\rhosen(t) $
$z=\rho$
È corretta tale parametrizzazione?
Ma soprattutto il dubbio più grande lo ho per quanto riguarda i flussi uscenti dai due cerchi.
Come mai hai proceduto in quel modo? (integrale doppio del prodotto scalare tra campo vettoriale e versare uscente dalla superficie)
È sbagliato procedere come ho proposto io? (calcolare il flusso del campovettoriale proprio come fatto per la superficie laterale del tronco si cono, cioè calcolare la divergenza del campo vettoriale, passare in coordinate polari e poi calcolare l integrale doppio sui 2 cerchi)
Spero di essere stato chiaro.
Grazie!

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