Flusso-Teorema della divergenza
Salve,all'inizio di settembre ho un esame di Analisi 2 e sono in difficoltà con un flusso che ho incontrato nella esercitazione di oggi. Allego di seguito il testo.
-Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z) = (x^2 z,0,x z^2) $ uscente dalla porzione di cilindro $ x^2+z^2=4 $ compresa tra i piani $ y=0$ e $ y=1 $.
Ci tengo a sottolineare che ho risolto l'esercizio ed il risultato mi viene $ 0 $. Tuttavia ho dei dubbi sullo svolgimento dell'esercizio visto che la circonferenza data è $ x^2+z^2=4 $ e non quella solita $ x^2+y^2=r $.
Mi farebbe piacere se qualcuno potesse dirmi anche solamente il risultato perchè non ho colleghi con cui confrontarmi che sappiamo aiutarmi. Purtroppo sono un novellino con le formule se ho sbagliato qualcosa correggerò domani mattina.
Cordiali Saluti.
RapSky
-Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z) = (x^2 z,0,x z^2) $ uscente dalla porzione di cilindro $ x^2+z^2=4 $ compresa tra i piani $ y=0$ e $ y=1 $.
Ci tengo a sottolineare che ho risolto l'esercizio ed il risultato mi viene $ 0 $. Tuttavia ho dei dubbi sullo svolgimento dell'esercizio visto che la circonferenza data è $ x^2+z^2=4 $ e non quella solita $ x^2+y^2=r $.
Mi farebbe piacere se qualcuno potesse dirmi anche solamente il risultato perchè non ho colleghi con cui confrontarmi che sappiamo aiutarmi. Purtroppo sono un novellino con le formule se ho sbagliato qualcosa correggerò domani mattina.
Cordiali Saluti.
RapSky
Risposte
Che vuol dire "quella solita"? una circonferenza non può trovarsi nel piano xz? chi ha detto che l'equazione di una circonferenza deve avere x e y come parametri?
Il cilindro ha asse coincidente con l'asse $y$ e consideriamolo costituito alla superficie laterale $S$ e dalle due basi circolari $A_1$ e $A_2$, giacenti entrambe su piani perpendicolari a $y$. Poichè $F_y(x,y,z)=0$, il flusso attraverso $A_1$ e $A_2$ è nullo. Il versore normale a $S$ è il versore radiale sul piano $xz$, cioè $\hat{n} = (x/r,0,z/r)$, dove $r=\sqrt{x^2+z^2}$. Sappiamo che $r=2$ su $S$, quindi $\hat{n}=(x/2,0,z/2)$.
Calcoliamo $\hat{n} \cdot F = \frac{1}{2}(x^3z+xz^3) =\frac{1}{2}xz(x^2+z^2)=2xz$, in quanto $x^2+z^2=4$ su $S$.
Il flusso è dato allora $\Phi = \int_S \hat{n} \cdot F dS = \int_S 2xz dS$. In coordinate cilindriche su $S$ si ha $x=2\cos\theta$, $z=2\sin\theta$, $dS=2 d\theta \dy$ e quindi
$\Phi = \int_0^1 dy \int_0^{2\pi} d\theta 16 \cos\theta \sin\theta$
Senza bisogno di calcolarlo, si vede che è nullo (contiene una funzione periodica a media nulla integrata su un periodo). È più lungo a dirsi che a farsi ...
Solo una curiosità: esercitazione ... tua? Se si svolgesse un'esercitazione in classe ad agosto le cose sarebbero molto cambiate da quando ho frequentato l'università ...
Calcoliamo $\hat{n} \cdot F = \frac{1}{2}(x^3z+xz^3) =\frac{1}{2}xz(x^2+z^2)=2xz$, in quanto $x^2+z^2=4$ su $S$.
Il flusso è dato allora $\Phi = \int_S \hat{n} \cdot F dS = \int_S 2xz dS$. In coordinate cilindriche su $S$ si ha $x=2\cos\theta$, $z=2\sin\theta$, $dS=2 d\theta \dy$ e quindi
$\Phi = \int_0^1 dy \int_0^{2\pi} d\theta 16 \cos\theta \sin\theta$
Senza bisogno di calcolarlo, si vede che è nullo (contiene una funzione periodica a media nulla integrata su un periodo). È più lungo a dirsi che a farsi ...
Solo una curiosità: esercitazione ... tua? Se si svolgesse un'esercitazione in classe ad agosto le cose sarebbero molto cambiate da quando ho frequentato l'università ...
Vulplasir: Nessuno infatti è solo una mia stupida considerazione ahahhaa
Cmax: mi viene esattamente così l'esercizio quindi dire che lo svolgimento essendo anche uguale è esatto! ti ringrazio molto per il tuo tempo sei stato gentilissimo.
Ovviamente esercitazione mia perchè la mia prof. Di analisi2 non fa esercitazione in classe ma solo durante ricevimento.
Cmax: mi viene esattamente così l'esercizio quindi dire che lo svolgimento essendo anche uguale è esatto! ti ringrazio molto per il tuo tempo sei stato gentilissimo.
Ovviamente esercitazione mia perchè la mia prof. Di analisi2 non fa esercitazione in classe ma solo durante ricevimento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo