Flusso superficie di rotazione
Salve a tutti volevo chiedervi dei chiarimenti su un esercizio,
Sia D il dominio del piano xz definito dalle limitazioni: $ 0 <= x <= 1 , x^2 <= z <= 2 - x^2 $ , sia poi T il solido ottenuto facendo ruotare di un angolo retto in verso antiorario, il dominio D intorno all'asse z. Calcolare il flusso uscente dalla frontiera di T del campo vettoriale $ v(x,y,z) = z sqrt(1 + x^2 + y^2 ) \hat k $
Ora premetto che non sono molto bravo con questa tipologia quindi chiedo scusa se dirò qualche scemenza
Quello che faccio sostanzialmente è:
$1. $Parametrizzo nel piano xz
Noto che l'area interessata è quella compresa tra la parabola $ x^2$ e$ 2-x^2 $ a questo punto avevo pensato di trovarmi la superficie di rotazione totale come somma della superficie di rotazione della parabola $ z=x^2 $ e $z=2-x^2 $
$S1\{(x=t), (z=t^2):}$ $S2 \{(x=t), (z=2-t^2):} $
A questo punto ruoto di 90° in senso anti orario le singole superfici ottenendo quindi:
$S1\{(x=t cos \theta), (y=t sen \theta), (z=t^2):}
S2\{(x=t cos \theta), (y=t sen \theta), (z=2-t^2):} t\in[0,1] \theta\in[0,2\pi] $
Ora la mia domanda è: posso sommare le due superfici e calcolarmi il flusso attraverso $S3$? cioè è lecito fare una somma membro a membro ?
$S3\{(x=2t cos \theta),(y=2t sen \theta), (z=2):} t\in[0,1] \theta\in[0,2\pi]$
O devo necessariamente calcolare il flusso prima attraverso $S1$ e $S2$ e poi sommarli?
$2.$Procedo quindi effettuando la divergenza di $v(x,y,z)$ e dato che l'integrale dipende da $dx dy dz $ effettuo il cambiamento di variabili e quindi otterrò: $\int int \nabla v(t, \theta) sqrt(A^2+B^2+C^2) dt d\theta $ dove $A, B , C $ sono i determinanti di ordine minore della matrice che ha come prima colonna le derivate rispetto a $t$ delle variabili $x y$ e $z $
mentre la seconda colonna è costituita dalle derivate rispetto a $\theta$, eseguendo i calcoli $sqrt(A^2+B^2+C^2)= 4t $
Al di là della domanda sulla superficie è giusto il procedimento che ho attuato dopo ? ovvero calcolo la divergenza e poi effettuo il cambiamento ? Grazie mille per il tempo dedicatomi
Sia D il dominio del piano xz definito dalle limitazioni: $ 0 <= x <= 1 , x^2 <= z <= 2 - x^2 $ , sia poi T il solido ottenuto facendo ruotare di un angolo retto in verso antiorario, il dominio D intorno all'asse z. Calcolare il flusso uscente dalla frontiera di T del campo vettoriale $ v(x,y,z) = z sqrt(1 + x^2 + y^2 ) \hat k $
Ora premetto che non sono molto bravo con questa tipologia quindi chiedo scusa se dirò qualche scemenza
Quello che faccio sostanzialmente è:
$1. $Parametrizzo nel piano xz
Noto che l'area interessata è quella compresa tra la parabola $ x^2$ e$ 2-x^2 $ a questo punto avevo pensato di trovarmi la superficie di rotazione totale come somma della superficie di rotazione della parabola $ z=x^2 $ e $z=2-x^2 $
$S1\{(x=t), (z=t^2):}$ $S2 \{(x=t), (z=2-t^2):} $
A questo punto ruoto di 90° in senso anti orario le singole superfici ottenendo quindi:
$S1\{(x=t cos \theta), (y=t sen \theta), (z=t^2):}
S2\{(x=t cos \theta), (y=t sen \theta), (z=2-t^2):} t\in[0,1] \theta\in[0,2\pi] $
Ora la mia domanda è: posso sommare le due superfici e calcolarmi il flusso attraverso $S3$? cioè è lecito fare una somma membro a membro ?
$S3\{(x=2t cos \theta),(y=2t sen \theta), (z=2):} t\in[0,1] \theta\in[0,2\pi]$
O devo necessariamente calcolare il flusso prima attraverso $S1$ e $S2$ e poi sommarli?
$2.$Procedo quindi effettuando la divergenza di $v(x,y,z)$ e dato che l'integrale dipende da $dx dy dz $ effettuo il cambiamento di variabili e quindi otterrò: $\int int \nabla v(t, \theta) sqrt(A^2+B^2+C^2) dt d\theta $ dove $A, B , C $ sono i determinanti di ordine minore della matrice che ha come prima colonna le derivate rispetto a $t$ delle variabili $x y$ e $z $
mentre la seconda colonna è costituita dalle derivate rispetto a $\theta$, eseguendo i calcoli $sqrt(A^2+B^2+C^2)= 4t $
Al di là della domanda sulla superficie è giusto il procedimento che ho attuato dopo ? ovvero calcolo la divergenza e poi effettuo il cambiamento ? Grazie mille per il tempo dedicatomi
Risposte
Ciao TeM,
grazie mille per la risposta, mi scuso se rispondo solo ora ma sono stato impegnato con gli esami :S, ad ogni modo hai ragione applicando la divergenza con pochi passaggi avrei risolto il problema
, un'altra domanda ma la formula della divergenza si può ricondurre alla formula che utilizzavo io ovvero $ int int_D F_1(\varphi(u,v))A+F_2(\varphi(u,v))B+F_3(\varphi(u,v))C du dv$ ? cioè invece di calcolare l'integrale triplo ne calcolo uno doppio (in questo caso come lo hai risolto tu è evidentemente piu conveniente, ma in generale le due formule sono uguali ? )
Grazie mille per il supporto
grazie mille per la risposta, mi scuso se rispondo solo ora ma sono stato impegnato con gli esami :S, ad ogni modo hai ragione applicando la divergenza con pochi passaggi avrei risolto il problema
, un'altra domanda ma la formula della divergenza si può ricondurre alla formula che utilizzavo io ovvero $ int int_D F_1(\varphi(u,v))A+F_2(\varphi(u,v))B+F_3(\varphi(u,v))C du dv$ ? cioè invece di calcolare l'integrale triplo ne calcolo uno doppio (in questo caso come lo hai risolto tu è evidentemente piu conveniente, ma in generale le due formule sono uguali ? )Grazie mille per il supporto
Quello che mi chiedo è:
se il versore normale alla superficie è $v=(A/sqrt(A^2+B^2+C^2),B/sqrt(A^2+B^2+C^2),C/sqrt(A^2+B^2+C^2))$ e proviamo a risolvere l'ultimo integrale che hai scritto ci dovrebbe venire $int int_S (F_1(r(u,v))A/sqrt(A^2+B^2+C^2)+F_2(r(u,v))B/sqrt(A^2+B^2+C^2)+F_3(r(u,v))C/sqrt(A^2+B^2+C^2)) sqrt(A^2+B^2+C^2) du dr$ ora nel nostro caso dato che $F_1$ e $F_2$ sono nulli l'integrale si riduce a $int int_S F_3(r(u,v))C du dv$, non rimane che calcolare quest'integrale su ogni superficie, come hai detto giustamente tu è veramente pesante
anche perchè dobbiamo trovarci che $A, B, C $ cambiano in basa alla parametrizzazione), ma quello che mi interesserebbe sapere è il procedimento è comunque giusto seppur lungo ? grazie mille
se il versore normale alla superficie è $v=(A/sqrt(A^2+B^2+C^2),B/sqrt(A^2+B^2+C^2),C/sqrt(A^2+B^2+C^2))$ e proviamo a risolvere l'ultimo integrale che hai scritto ci dovrebbe venire $int int_S (F_1(r(u,v))A/sqrt(A^2+B^2+C^2)+F_2(r(u,v))B/sqrt(A^2+B^2+C^2)+F_3(r(u,v))C/sqrt(A^2+B^2+C^2)) sqrt(A^2+B^2+C^2) du dr$ ora nel nostro caso dato che $F_1$ e $F_2$ sono nulli l'integrale si riduce a $int int_S F_3(r(u,v))C du dv$, non rimane che calcolare quest'integrale su ogni superficie, come hai detto giustamente tu è veramente pesante
anche perchè dobbiamo trovarci che $A, B, C $ cambiano in basa alla parametrizzazione), ma quello che mi interesserebbe sapere è il procedimento è comunque giusto seppur lungo ? grazie mille
mmmm non capisco il perchè ma l'integrale mi è venuto spezzettato 
grazie mille TeM,
era meglio usare la divergenza in ogni caso
ma non so perchè mi sono affezionato a quella formula che avevo scritto, sarà che se già mi forniscono il dominio di $R^2$ mi viene più immediato 
spero di non aver fatto scemità nel compito
era meglio usare la divergenza in ogni caso
ma non so perchè mi sono affezionato a quella formula che avevo scritto, sarà che se già mi forniscono il dominio di $R^2$ mi viene più immediato spero di non aver fatto scemità nel compito
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