Flusso rotore

[Shika93]

Devo calcolare il flusso del rotore di $F=(x^3+z,e^y,xz-z^3)$ attraverso $\Sigma:x^2+(y-1)^2+z^2=4$ con $y<=0$ orientato col versore tale che $\hat n*\hat j<0$

Per farlo volevo usare stokes. Quindi ho calcolato il rotore $RotF=-(z-1)\hat j$

Quindi $\int\int_{\Sigma}^{}RotF*n_eds=\int\int_{x^2+z^2<=3}z-1dxdz$
Ma in coordinate polari $z=z$

Come lo risolvo?

[21zuclo]

mi fido dei tuoi conti..

io il teorema di Stokes, lo devo ancora guardare bene e fare degli esercizi..

ma ti posso aiutare su qui $ \int\int_(x^2+z^2\leq 3) z-1dxdz$

puoi usare invece delle coordinate polari classiche..anche queste $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=y ),( z=\rho \sin\theta ):} $

praticamente è come stessi lavorando su una circonferenza girata..

[Shika93]

Ho avuto un lapsus. In coordinate polari $z=0$
qui non sto integrando in coordinate cilindriche visto che sono in $RR^2$
Quindi dovrebbe semplicemente venire
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{sqrt3}-\rhod\rhod\theta=-3pi$ che è il risultato che deve venire

Quello che dici tu è giusto se stessi risolvendo un integrale triplo che lo risolvi in $dxdz$ e per ultimo in $dy$

[21zuclo]

cioè aspetta vuoi dire che

$ \int\int_(x^2+z^2\leq 3) (z-1)dxdz $

hai integrato prima in $dz$ e poi in $dx$ ?

vorrei capire cosa hai fatto..

sennò come ti ho detto prima..si può usare le coordinate cilindriche con asse parallelo all’asse y.

[Shika93]

In coordinate polari $RR^2$
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=0):}$

Quindi
$ \int\int_(x^2+z^2\leq 3) (z-1)dxdz =\int_{0}^{2pi}\int_{0}^{sqrt3}(0-1)\rhod\rhod\theta=-2\pi((sqrt3)^2/2-0)=-3\pi$