Flusso positivo (analisi II)
Buonasera 
Ho questo esercizio a cui vorrei dare una controllatina.
''sia S la superficie grafico della funzione
$f(x,y) = - xy^2$
con $(x,y) \in A = {(x,y) \in R^2 : 2 <= xy <= 2, 0 <= x <= 4 , 0 <= y <= 4}$
calcolare il flusso positivo del campo vettoriale
$F = (sin (xy +1), 0,1)$
attraverso S
il testo dice che S è grafico di $f$
$S = {(x,y,z) \in R^3 : z = f(x,y) }$
allora l'intervallo su $z$ risulta:
$z_1 = - x_1 (y_1)^2 = 0$
$z_2 = - x_2 (y_2)^2 = -64$
calcolo la divergenza:
$div F = y cos (xy +1) $
imposto l'integrale:
$\int_{-64}^{0} dz \int_{0}^{4} dy \int y cos (xy +1) dx$
è impostato bene secondo voi?
grazie
Ho questo esercizio a cui vorrei dare una controllatina.
''sia S la superficie grafico della funzione
$f(x,y) = - xy^2$
con $(x,y) \in A = {(x,y) \in R^2 : 2 <= xy <= 2, 0 <= x <= 4 , 0 <= y <= 4}$
calcolare il flusso positivo del campo vettoriale
$F = (sin (xy +1), 0,1)$
attraverso S
il testo dice che S è grafico di $f$
$S = {(x,y,z) \in R^3 : z = f(x,y) }$
allora l'intervallo su $z$ risulta:
$z_1 = - x_1 (y_1)^2 = 0$
$z_2 = - x_2 (y_2)^2 = -64$
calcolo la divergenza:
$div F = y cos (xy +1) $
imposto l'integrale:
$\int_{-64}^{0} dz \int_{0}^{4} dy \int y cos (xy +1) dx$
è impostato bene secondo voi?
grazie
Risposte
(1)
Scusa ma il dominio D credevo fosse chiuso!
Infatti:
$A={(x,y) \in RR^2 : 1 <= xy <= 2 , 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4}$
e non come hai scritto tu $xy<= 2$ forse sta qui l'errore?
(2)
per trovarti il versore positivo hai derivato $z=f(x,y)= - x y^2$ giusto? perchè
$(-y^2, - 2 xy , -1)$ ma dato che sto considerando il verso 'uscente' metto il meno davanti al versore ed esce quello che hai scritto tu, però sono confuso riguardo la derivata rispetto a $z$ perchè è $1$?
(3)
Altra mia domanda, come intuisco praticamente che devo applicare l'integrale triplo anzichè del prodotto scalare flusso versore uscente?
Scusa ma il dominio D credevo fosse chiuso!
Infatti:
$A={(x,y) \in RR^2 : 1 <= xy <= 2 , 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4}$
e non come hai scritto tu $xy<= 2$ forse sta qui l'errore?
(2)
per trovarti il versore positivo hai derivato $z=f(x,y)= - x y^2$ giusto? perchè
$(-y^2, - 2 xy , -1)$ ma dato che sto considerando il verso 'uscente' metto il meno davanti al versore ed esce quello che hai scritto tu, però sono confuso riguardo la derivata rispetto a $z$ perchè è $1$?
(3)
Altra mia domanda, come intuisco praticamente che devo applicare l'integrale triplo anzichè del prodotto scalare flusso versore uscente?
Grazie mille per la risposta, in primis.
==
Credo che il verbo ''attraverso'' nel testo sia chiarificante oO non ci avevo mai fatto caso.
A quanto ho capito dai tuoi appuntini, se il dominio è chiuso, teorema della divergenza, farci semmai le oppurtune trasformazioni da coordinate cartesiane a cilindriche\sferiche (a seconda di quale siano più convenienti...), fine.
Mentre usare la definizione in tutti gli altri casi, giusto?
Voglio solo impostare questo qui:
''Calcolare il flusso uscente dal campo vettoriale $(0,0, x^2 +y^2)$ attraverso la superficie $S = {x^2 + y^2 + z^2= 1, x <=0, z>=0}$
se fosse stato solo $x^2 + y^2 + z^2= 1$ sarebbe stato un dominio chiuso e avrei applicato la divergenza e il flusso sarebbe stato nullo. Ma qui non è chiuso (intersezione di un chiuso con due aperti) e dunque mi tocca parametrizzare, il flusso lo si deve calcolare come somma dei flussi uscenti dalle tre superfici parametrizzate che costituiscono il bordo del solido in oggetto.
ti trovi?
==
Credo che il verbo ''attraverso'' nel testo sia chiarificante oO non ci avevo mai fatto caso.
A quanto ho capito dai tuoi appuntini, se il dominio è chiuso, teorema della divergenza, farci semmai le oppurtune trasformazioni da coordinate cartesiane a cilindriche\sferiche (a seconda di quale siano più convenienti...), fine.
Mentre usare la definizione in tutti gli altri casi, giusto?
Voglio solo impostare questo qui:
''Calcolare il flusso uscente dal campo vettoriale $(0,0, x^2 +y^2)$ attraverso la superficie $S = {x^2 + y^2 + z^2= 1, x <=0, z>=0}$
se fosse stato solo $x^2 + y^2 + z^2= 1$ sarebbe stato un dominio chiuso e avrei applicato la divergenza e il flusso sarebbe stato nullo. Ma qui non è chiuso (intersezione di un chiuso con due aperti) e dunque mi tocca parametrizzare, il flusso lo si deve calcolare come somma dei flussi uscenti dalle tre superfici parametrizzate che costituiscono il bordo del solido in oggetto.
ti trovi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo