Flusso positivo (analisi II)

ludwigZero
Buonasera 8-)

Ho questo esercizio a cui vorrei dare una controllatina.

''sia S la superficie grafico della funzione

$f(x,y) = - xy^2$

con $(x,y) \in A = {(x,y) \in R^2 : 2 <= xy <= 2, 0 <= x <= 4 , 0 <= y <= 4}$

calcolare il flusso positivo del campo vettoriale

$F = (sin (xy +1), 0,1)$

attraverso S


il testo dice che S è grafico di $f$

$S = {(x,y,z) \in R^3 : z = f(x,y) }$

allora l'intervallo su $z$ risulta:

$z_1 = - x_1 (y_1)^2 = 0$

$z_2 = - x_2 (y_2)^2 = -64$

calcolo la divergenza:

$div F = y cos (xy +1) $

imposto l'integrale:

$\int_{-64}^{0} dz \int_{0}^{4} dy \int y cos (xy +1) dx$

è impostato bene secondo voi?

grazie :)

Risposte
ludwigZero
(1)
Scusa ma il dominio D credevo fosse chiuso!
Infatti:
$A={(x,y) \in RR^2 : 1 <= xy <= 2 , 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4}$
e non come hai scritto tu $xy<= 2$ forse sta qui l'errore?

(2)
per trovarti il versore positivo hai derivato $z=f(x,y)= - x y^2$ giusto? perchè

$(-y^2, - 2 xy , -1)$ ma dato che sto considerando il verso 'uscente' metto il meno davanti al versore ed esce quello che hai scritto tu, però sono confuso riguardo la derivata rispetto a $z$ perchè è $1$?

(3)
Altra mia domanda, come intuisco praticamente che devo applicare l'integrale triplo anzichè del prodotto scalare flusso versore uscente?

ludwigZero
Grazie mille per la risposta, in primis.
==
Credo che il verbo ''attraverso'' nel testo sia chiarificante oO non ci avevo mai fatto caso.
A quanto ho capito dai tuoi appuntini, se il dominio è chiuso, teorema della divergenza, farci semmai le oppurtune trasformazioni da coordinate cartesiane a cilindriche\sferiche (a seconda di quale siano più convenienti...), fine.

Mentre usare la definizione in tutti gli altri casi, giusto?

Voglio solo impostare questo qui:
''Calcolare il flusso uscente dal campo vettoriale $(0,0, x^2 +y^2)$ attraverso la superficie $S = {x^2 + y^2 + z^2= 1, x <=0, z>=0}$

se fosse stato solo $x^2 + y^2 + z^2= 1$ sarebbe stato un dominio chiuso e avrei applicato la divergenza e il flusso sarebbe stato nullo. Ma qui non è chiuso (intersezione di un chiuso con due aperti) e dunque mi tocca parametrizzare, il flusso lo si deve calcolare come somma dei flussi uscenti dalle tre superfici parametrizzate che costituiscono il bordo del solido in oggetto.

ti trovi?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.