Flusso per un campo vettoriale
Salve, ho un problema con un esercizio.
"Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F\equiv(0,0,z)$ attraverso la calotta sferica $S: z=sqrt(1-x^2-y^2)$ al variare di $(x,y)$ nel cerchio di centro origine e raggio $1$. Si consideri S in modo che il versore normale abbia terza componente $>0$.".
Un esercizio simile è stato già svolto in classe, ma all'esame è stato dato a tutti per errato!
Scrivo $z$ come:
$z-sqrt(1-x^2-y^2)=0$
Il versore tangente alla superficie ha coordinate:
$( x/sqrt(1-x^2-y^2),y/sqrt(1-x^2-y^2),1 )$
La norma del vettore tangente è $1/(1-x^2-y^2)$
Il versore tangente è quindi:
$( x*(1-x^2-y^2)/sqrt(1-x^2-y^2),y*(1-x^2-y^2)/sqrt(1-x^2-y^2),(1-x^2-y^2) )$
Il flusso, equivale all'integrale:
$\int_S <\text{[Versore tangente], [Vettore del campo vettoriale]}> = \int_S (1-x^2-y^2)sqrt(1-x^2-y^2) ds$
Passando a coordinate polari, l'integrale diventa:
$\int_0^(2\pi)d\theta\int_0^1sqrt(1-\rho^2)(1-\rho^2)\rho d\rho$
E questo integrale si risolve semplicemente.
È corretto questo procedimento per calcolare il flusso?
Grazie.
"Si calcoli il flusso del campo vettoriale $F\equiv(0,0,z)$ attraverso la calotta sferica $S: z=sqrt(1-x^2-y^2)$ al variare di $(x,y)$ nel cerchio di centro origine e raggio $1$. Si consideri S in modo che il versore normale abbia terza componente $>0$.".
Un esercizio simile è stato già svolto in classe, ma all'esame è stato dato a tutti per errato!
Scrivo $z$ come:
$z-sqrt(1-x^2-y^2)=0$
Il versore tangente alla superficie ha coordinate:
$( x/sqrt(1-x^2-y^2),y/sqrt(1-x^2-y^2),1 )$
La norma del vettore tangente è $1/(1-x^2-y^2)$
Il versore tangente è quindi:
$( x*(1-x^2-y^2)/sqrt(1-x^2-y^2),y*(1-x^2-y^2)/sqrt(1-x^2-y^2),(1-x^2-y^2) )$
Il flusso, equivale all'integrale:
$\int_S <\text{[Versore tangente], [Vettore del campo vettoriale]}> = \int_S (1-x^2-y^2)sqrt(1-x^2-y^2) ds$
Passando a coordinate polari, l'integrale diventa:
$\int_0^(2\pi)d\theta\int_0^1sqrt(1-\rho^2)(1-\rho^2)\rho d\rho$
E questo integrale si risolve semplicemente.
È corretto questo procedimento per calcolare il flusso?
Grazie.
Risposte
Il versore tangente alla superficie???????
Inoltre, sei sicuro certo che $\theta$ è compreso nell'intervallo $[0,2\pi]$? Mi sembra che ti dica di farlo per $z>0$...
Inoltre, sei sicuro certo che $\theta$ è compreso nell'intervallo $[0,2\pi]$? Mi sembra che ti dica di farlo per $z>0$...
Semmai, non dovresti calcolare il vettore NORMALE alla superficie????
@K.Lomax: e che gli devi fare? Gli devi sparare???
@K.Lomax: e che gli devi fare? Gli devi sparare???
Sì, vero, è tra $[0,\pi]$, mentre il versore è normale, mi sono confuso mentre scrivevo! È il prodotto vettoriale tra due vettori tangenti alla superficie, quindi è ortogonale ad essa.
Ciò che non capisco è il $ds$ dell'integrale superficiale. In alcuni esercizi considero $ds=W(u,v)*du*dv$, mentre in altri solamente $ds=du*dv$, dove $W = sqrt(A^2+B^2+C^2)$ e $A, B, C$ sono i minori di ordine due della matrice jacobiana.
Ah, $u$ e $v$ sono i parametri della rappresentazione parametrica della superficie...
Ciò che non capisco è il $ds$ dell'integrale superficiale. In alcuni esercizi considero $ds=W(u,v)*du*dv$, mentre in altri solamente $ds=du*dv$, dove $W = sqrt(A^2+B^2+C^2)$ e $A, B, C$ sono i minori di ordine due della matrice jacobiana.
Ah, $u$ e $v$ sono i parametri della rappresentazione parametrica della superficie...
Ma la norma non dovrebbe essere:
$ 1/ sqrt (1 - x^2 - y^2) $
$ 1/ sqrt (1 - x^2 - y^2) $
"Ragnarok":
Ma la norma non dovrebbe essere:
$ 1/ sqrt (1 - x^2 - y^2) $
Io mi trovo come ho scritto, ma non è questo il problema.
Hai una risposta ai miei dubbi?
Forse mi sbaglio, ma la norma del vettore non è la radice quadrata della somma delle componenti elevate al quadrato?
Perchè in tal caso la norma che hai postato andrebbe sotto radice. Ed i calcoli si semplificherebbero molto.
Mi trovo che il flusso è uguale a $\pi/6$
Riguardo alla domanda, il caso $ ds=du⋅dv $ mi fa pensare ad un vettore unitario.
Perchè in tal caso la norma che hai postato andrebbe sotto radice. Ed i calcoli si semplificherebbero molto.
Mi trovo che il flusso è uguale a $\pi/6$
Riguardo alla domanda, il caso $ ds=du⋅dv $ mi fa pensare ad un vettore unitario.
Io, inizialmente, avrei applicato il teorema della divergenza, ovvero:
$\Phi=\int\int_S\vecF*\vecndS=\int\int\int\nabla*\vecFdV$
dove
$\Phi=\int\int\int\nabla*\vecFdV=\int\int\int(dF_z)/(dz)dV=\int\int\intdV=\int_0^1dr\int_0^(\pi/2)d\theta\int_0^(2\pi)r^2sen\thetad\phi=2/3\pi$
con $\theta$ nell'intevallo $[0,\pi/2]$ perchè sono solo sulla calotta superiore della sfera. Non volendo applicare il teorema della divergenza, avrei proceduto in questa maniera. Mi pongo in coordinate sferiche:
$x=rsin\thetacos\phi$
$y=rsin\thetasin\phi$
$z=rcos\theta$
ed utilizzando un po' di geometria si ha $\vecn=\vecr$, $dS=r^2sin\thetad\phid\theta$, $\vecF=F_z\vecz=z\vecz=rcos^2\theta\vecr$ essendo $\vecz=\vecrcos\theta$. Di conseguenza si ottiene:
$\Phi=\int\int\vecF*\vecndS=r^3\int_0^(2\pi)d\phi\int_(0)^(\pi/2)sin\thetacos^2\thetad\theta=-2/3\pir^3cos^3\theta|_(0)^(\pi/2)=2/3\pir^3=2/3\pi$
$\Phi=\int\int_S\vecF*\vecndS=\int\int\int\nabla*\vecFdV$
dove
$\Phi=\int\int\int\nabla*\vecFdV=\int\int\int(dF_z)/(dz)dV=\int\int\intdV=\int_0^1dr\int_0^(\pi/2)d\theta\int_0^(2\pi)r^2sen\thetad\phi=2/3\pi$
con $\theta$ nell'intevallo $[0,\pi/2]$ perchè sono solo sulla calotta superiore della sfera. Non volendo applicare il teorema della divergenza, avrei proceduto in questa maniera. Mi pongo in coordinate sferiche:
$x=rsin\thetacos\phi$
$y=rsin\thetasin\phi$
$z=rcos\theta$
ed utilizzando un po' di geometria si ha $\vecn=\vecr$, $dS=r^2sin\thetad\phid\theta$, $\vecF=F_z\vecz=z\vecz=rcos^2\theta\vecr$ essendo $\vecz=\vecrcos\theta$. Di conseguenza si ottiene:
$\Phi=\int\int\vecF*\vecndS=r^3\int_0^(2\pi)d\phi\int_(0)^(\pi/2)sin\thetacos^2\thetad\theta=-2/3\pir^3cos^3\theta|_(0)^(\pi/2)=2/3\pir^3=2/3\pi$
Ok, applicandomici un po' sono riuscito a capire
Grazie!
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