Flusso e volume, sono proporzionali?

[Giacomo9o1]

Il flusso del campo di vettori di componenti x y e z uscente da una sfera, è proporzionale al volume della sfera? È proporzionale per qualsiasi campo di vettori e qualsiasi volume? Grazie

[Quinzio]

Direi proprio di no.
Banalmente, se hai un campo radiale di vettori dal modulo unitario, il flusso è proporzionale alla superficie della sfera, non al volume.

[Rigel1]

Se però il campo vettoriale è proprio \(F(x,y,z) = (x,y,z)\), allora in effetti c'è questa proporzionalità.
In generale, prova a vedere se il teorema della divergenza ti dà qualche informazione.

[lordb]

Intuitivamente:
se tu hai un generico volume $V$ in $RR^3$ e hai un campo di vettori $F:AsubRR^3->RR^3$ e chiamiamo:

$Phi_1=Phi_(vec F_(partial^+V))=int_(partial^+V)ds_2=intintint_V dxdydz$

"aumentando" il volume $V->W$ ottieni che $mis(partial W)>mis(partial V)$ e un nuovo flusso:

$Phi_2=Phi_(vec F_(partial^+W))=int_(partial^+W)ds_2=intintint_W dxdydz$

Essendo $W=V uu(W-V)$ hai che:

$intintint_W dxdydz= intintint_V dxdydz + intintint_(W-V) dxdydz$

Ottenendo:

$Phi_2=Phi_1 + intintint_(W-V) dxdydz$

$Phi_2=Phi_1 + int_(partial^+ (W-V)) ds_2$

$Phi_2=Phi_1 + Phi_3$

Quindi non c'è proporzionalità inoltre:

$Phi_2>Phi_1 <=> Phi_3>0$

$Phi_2 Phi_3<0$

P.s. spero di non aver scritto "boiate" in caso contrario chiedo scusa.