Flusso e teorema della divergenza

[Valchiria1]

Ho il campo vettoriale $F:R^3->R^3$

$F(x,y,z)=(xy,y^2,(y+1)z)$

e $D={(t,s) in R : t^2+s^2<=1}$ e la superficie S, codominio di $phi:D->S$ con $phi(t,s)=(t,s,sqrt(t^2+s^2))$

devo calcolare il flusso di F attraverso S. Ora, usando la definizione cioè $int_S (F,N)dsigma$ mi trovo con il risultato, cioè $2/3pi$, ma provando ad usare il teorema della divergenza non riesco proprio a trovarmi ( per motivi di segno o di estremi di integrazione..)

S è la porzione di cono ${(x,y,z)in R^3: x^2+y^2<=1, z=sqrt(x^2+y^2)}$ quindi posso considerare il volume del cono $E$ ed il suo bordo come unione di 2 superfici, il cono e il ''tappo''. Dal teorema della divergenza so che ottengo il flusso uscente.
Potreste aiutarmi ad impostare l'integrale triplo della divergenza con gli estremi di integrazione e la parametrizzazione della superficie che fa da ''tappo''?

$DivF=x+3y+1$

[Mephlip]

"Valchiria": ma provando ad usare il teorema della divergenza non riesco proprio a trovarmi

La divergenza è sbagliata.
$$DivF=\frac{\partial}{\partial x} (xy)+\frac{\partial}{\partial y} (y^2)+\frac{\partial}{\partial z} \left[(y+1)z\right]=y+2y+y+1=4y+1\textcolor{red} \ne x+3y+1$$

[Valchiria1]

Giusto..rifacendo i calcoli trovo che l'integrale triplo della divergenza mi viene $2/3pi$ e il ''tappo'' , una circonferenza a quota $z=rho$, viene lo stesso $2/3pi$ ciò vuol dire che non c'è bisogno di dividere la superficie in 2 parti e che la divergenza è proprio il flusso uscente che mi serve? Oppure ho sbagliato qualcosa

[anonymous_0b37e9]

Premesso che il flusso attraverso la superficie di base può essere calcolato in modo elementare:

$\Phi_B=\int_{x^2+y^2 lt= 1}dxdy(y+1)=\pi$

per quanto riguarda il flusso totale:

$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=z):} ^^ [sqrt(x^2+y^2) lt= z lt= 1] rarr$

$rarr [0 lt= \rho lt= 1] ^^ [0 lt= \theta lt= 2\pi] ^^ [\rho lt= z lt= 1]$

$\Phi_(t o t)=\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{\rho}^{1}dz\rho(4\rhosin\theta+1)=\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\theta[\rho(4\rhosin\theta+1)z]_{\rho}^{1}=$

$=\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\theta\rho(1-\rho)(4\rhosin\theta+1)=\int_{0}^{1}d\rho\rho(1-\rho)[-4\rhocos\theta+\theta]_{0}^{2\pi}=$

$=2\pi\int_{0}^{1}d\rho\rho(1-\rho)=2\pi[1/2\rho^2-1/3\rho^3]_{0}^{1}=\pi/3$

Quindi, per quanto riguarda il flusso attraverso la superficie laterale:

$\Phi_(SL)=\pi/3-\pi=-2/3\pi$

A questo punto, presumo che tu abbia calcolato il flusso attraverso la superficie laterale con un versore normale orientato verso l'interno del cono.

[Valchiria1]

Grazie, avevo sbagliato gli estremi di integrazione per quanto riguarda z sia nella divergenza che nel calcolo della superficie di base, dove bastava fissare la quota $z=1$. Il risultato è $2/3pi$ infatti avevo impostato il tutto come:

$ int int intDivF dx dy dz = - int_S (F,n) dsigma + int_(S_B) (F,n) dsigma $

Perchè andando a calcolare il flusso secondo la definizione considerando $ D={(t,s) in R : t^2+s^2<=1} $e $ phi(t,s)=(t,s,sqrt(t^2+s^2)) $ avevo la normale $(-t/sqrt(t^2+s^2),-s/sqrt(t^2+s^2),1)$ quindi diretta verso l'alto, ma così facendo la normale è diretta verso l'interno del cilindro e il teorema della divergenza mi dà il flusso esterno quindi ho messo meno davanti l'intergale; invece la normale della superficie di base è con la parametrizazione naturale $(0,0,1)$ perciò diretta verso l'esterno e non cambio il segno.

perciò $ int_S (F,n) dsigma= pi- pi/3=2/3pi$, giusto?

[anonymous_0b37e9]

"Valchiria":
... giusto?

Giusto, anche se si tratta di un cono.

"Valchiria":
... verso l'interno del cilindro ...

Senz'altro una svista.

[Valchiria1]

Si intendevo cono, non so perchè ho scritto cilindro
grazie mille