Flusso di un campo vettoriale e divergenza, esercizio

[Jet1]

Salve a tutti, avrei bisogno di chiarimenti sull'impostazione del seguente esercizio:
Viene richiesto di svolgere l'integrale del flusso attraverso la superficie del dominio D e verificare infine con il teorema della divergenza.
Premetto che è un esercizio che mi sono ritrovato all'esame di cui non ho il risultato.

$ F(x,y,z)=(y,x,z/sqrt(1-x^2-y^2)) $

nel dominio $ D={(x,y,z) : 1-sqrt(1-x^2-y^2)
Per il flusso ho calcolato tre integrali impostando in questo modo:

1) n1(Normale per la semisfera, orientata verso il basso) = $ (x/sqrt(1-x^2-y^2), y/sqrt(1-x^2-y^2),-1) $

Con dominio base corrispondente alla corona circolare $ A={1/3< x^2+y^2< 1- c} $ (Ho considerato l'integrale generalizzato per c tendente a 0)
Risulta: $ int int _(A)^()F\cdot n1 dS = intint _(A) ((2xy)/sqrt(1-x^2-y^2)-z/(sqrt(1-x^2-y^2)))dxdy $

Suddividendo e sostituendo la z con la semisfera ( z=1-sqrt(1-x^2-y^2)) si ottiene

$ intint _(A) (2xy)/sqrt(1-x^2-y^2)dxdy $ + $ intint _(A) (-1+sqrt(1-x^2-y^2))/(sqrt(1-x^2-y^2))dxdy $

Passando a coordinate polari in $ A'= {(rho ,vartheta ) : 0
$ lim_(c -> 0) int_(0)^(2pi)int_(1/3)^(1-c) (-1/sqrt(1-rho^2)+1)rhodrhodvartheta $


2) n2 (Normale per il cono, orientata verso l'alto) = $ (-x/sqrt(x^2+y^2), -y/sqrt(x^2+y^2), 1) $

Con dominio identico al precedente

3) n3 (Normale per il piano, orientata verso il basso) = $ (0,0,-1) $

Con dominio base la corona circolare $ 1/3 < x^2+y^2< 5/9 $(quest'ultimo raggio l'ho trovato come intersezione tra la semisfera e il piano z=1/3)

Per quanto riguarda la divergenza ho suddiviso in due integrali impostando entrambi per fili:

1) $ { (x,y,z) : 1/3
2) $ {(x,y,z) : 1-sqrt(1-x^2-y^2)
Ho provato diverse volte ma i risultati dell'integrale del flusso e della divergenza mi danno diversi.
Il procedimento è corretto?
Ringrazio anticipatamente

EDIT: ho aggiunto dei passaggi

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Nessuno può darmi un'indicazione?

qualsiasi consiglio è ben accetto