Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

[antony_8]

Ciao ragazzi, oggi sono alle prese con un esercizio di analisi 2. Esso cita:
Calcolare il flusso del campo vettoriale:
$
F(x,y,z) = (xz,-yz,4)
$
Attraverso la superficie:
$
A={(x,y,z) \in R^3 | y+1=x^2+z^2 , 0 \le y \le 3}
$


Quindi in sostanza devo applicare il teorema della divergenza, ma facendo la divergenza del campo ottengo che:
\[
\operatorname{div} F = 0
\]
quindi non ho nessun flusso?
Vorrei sapere se il ragionamento da me svolto e' corretto oppure no. Ringrazio anticipatamente per la risposta

[dissonance]

Ma quella superficie, sarà chiusa?

[antony_8]

Ciao dissonance, hai proprio ragione, sono partito in quarta.
Quindi osservando che il dominio dato non e' chiuso, e volendo calcolare la divergenza, aggiungo le due circonferenze (piano xz) di raggio rispettivamente 1 e 4 ($\Sigma_1$ e $\Sigma_2$). Quindi:
$
\Phi (\Sigma) + \Phi(\Sigma_1) + \Phi(\Sigma_2) = \int \int \int \grad F dx dy dz = 0
$
$
\Phi(\Sigma) = -\Phi(\Sigma_1) - \Phi(\Sigma_2)
$
Per $\Phi(\Sigma_1)$ devo calcolare:
$
\int_{\Sigma_1} F * n d \sigma
$
scrivo una parametrizzazione $r(u,v) = (u,0,v)$ e calcolo il versore:
$
r_u \wedge r_v = (0,-1,0)
$
osservo che tale versore e' uscente dal dominio, quindi e' corretto prendere il prodotto vettoriale $r_u \wedge r_v$ (norma 1). Allora:
$
\int_{\Sigma_1} F * n d\sigma = \int_{T_1} F(r(u,v))*n dudv = 0
$
Ora faccio un analogo ragionamento per la seconda circonferenza, cioe' scelgo una parametrizzazione $r(u,v)=(u,3,v)$ e calcolo il versore:
$
r_v \wedge r_u = (0,1,0)
$
versore concorde con norma unitaria. Quindi:
$
\int_{\Sigma_2} F(r(u,v))*n du dv = \int_{T_2} 3v du dv
$
dove passando in coordinate polari $u=\rho cos\theta$ e $v=\rho sin \theta$, calcolo l'integrale:
$
\int_0^{2 \pi}d\theta \int_0^{2} \rho * 3\rho sin\theta d\rho=0
$
Quindi il $\Phi (\Sigma)$ e' nullo.
E' corretto quanto ho detto? Ringrazio anticipatamente chiunque per la risposta.