Flusso di un campo vettoriale, alcuni chiarimenti.
Ciao gente, posto un esercizio per chiedervi alcuni concetti sia di calcolo che di concetto riguardo a questo argomento.
La traccia è:
Determinare il flusso del campo vettoriale $\F(x,y)=(x^2y - y, -xy^2 + 3y + x) $ attraverso la frontiera del seguente insieme:
$\D={(x,y) in R^2 : (x^2)/16 + (y^2)/9<=1, x^2 + y^2 - 4x +3 >=0, x^2 + y^2 + 4x + 3 >=0} $
Il dominio lo riporto in allegato.
Chaimiamo $\gamma_1 $l'ellisse, $\ gamma_2 $ la circonferenza con centro in (2;0) e $\ gamma_3 $ la circonferenza con centro in (-2;0).
Sappiamo bene che il flusso di un campo vettoriale si calcola come integrale curvilineo(lungo D appunto) del prodotto scalare del vettore normale per il campo vettoriale F. E sappiamo inoltre che questo integrale curvilineo che è per definizione il flusso del campo, è uguale all'integrale doppio della divergenza di F, se siamo in $\R^2$ ; ci siamo, almeno praticamente parlando.
Primo problema: questo D è composto da tre curve, quindi devo valutare gli integrali lungo queste tre curve, prima cosa che non capisco è perché, durante il calcolo, si percorre l'ellisse in senso orario$\ gamma_+ $ e invece le circonferenze in senso antiorario $\ gamma_-$ con il risultato che si ha un segno meno in questi ultimi durante i calcoli....Why???
Inoltre a me sfugge proprio il concetto pratico-terra terra di ciò: che mi rappresenta il flusso di questo campo che esce da queste particolari curve? Che applicazione pratica ha?
Scusate le domande, ma non mi sono chiari questi concetti, grazie a chi potrà farmi delucidazioni,specie sul fattod di percorrere le curve i un certo senso, che serve ai fini del calcolo...
La traccia è:
Determinare il flusso del campo vettoriale $\F(x,y)=(x^2y - y, -xy^2 + 3y + x) $ attraverso la frontiera del seguente insieme:
$\D={(x,y) in R^2 : (x^2)/16 + (y^2)/9<=1, x^2 + y^2 - 4x +3 >=0, x^2 + y^2 + 4x + 3 >=0} $
Il dominio lo riporto in allegato.
Chaimiamo $\gamma_1 $l'ellisse, $\ gamma_2 $ la circonferenza con centro in (2;0) e $\ gamma_3 $ la circonferenza con centro in (-2;0).
Sappiamo bene che il flusso di un campo vettoriale si calcola come integrale curvilineo(lungo D appunto) del prodotto scalare del vettore normale per il campo vettoriale F. E sappiamo inoltre che questo integrale curvilineo che è per definizione il flusso del campo, è uguale all'integrale doppio della divergenza di F, se siamo in $\R^2$ ; ci siamo, almeno praticamente parlando.
Primo problema: questo D è composto da tre curve, quindi devo valutare gli integrali lungo queste tre curve, prima cosa che non capisco è perché, durante il calcolo, si percorre l'ellisse in senso orario$\ gamma_+ $ e invece le circonferenze in senso antiorario $\ gamma_-$ con il risultato che si ha un segno meno in questi ultimi durante i calcoli....Why???
Inoltre a me sfugge proprio il concetto pratico-terra terra di ciò: che mi rappresenta il flusso di questo campo che esce da queste particolari curve? Che applicazione pratica ha?
Scusate le domande, ma non mi sono chiari questi concetti, grazie a chi potrà farmi delucidazioni,specie sul fattod di percorrere le curve i un certo senso, che serve ai fini del calcolo...
Risposte
Il verso è orario perchè il prodotto scalare lo devi fare con la normale esterna a [tex]$D$[/tex].
Ma se parametrizzi le circonferenze con le parametrizzazioni standard, il vettore normale che ottieni è orienteto verso l'interno di [tex]$D$[/tex] e non verso l'esterno, ergo devi cambiar segno agli integrali.
Ma se parametrizzi le circonferenze con le parametrizzazioni standard, il vettore normale che ottieni è orienteto verso l'interno di [tex]$D$[/tex] e non verso l'esterno, ergo devi cambiar segno agli integrali.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Credo di avere proprio lacune concettuali su ciò, cioè in che senso le parametrizzazioni sono standard? Come avrei potuto parametrizzare diversamente? Poi una cosa: se sto facendo un integrale curivilineo, vuol dire che il dominio di integrazione è una curva giusto? UNa curva dunque ha una sola dimensione, la lunghezza e che significa che un vettorè è interno o esterno ad una curva?
Credo di avere proprio lacune concettuali su ciò, cioè in che senso le parametrizzazioni sono standard? Come avrei potuto parametrizzare diversamente? Poi una cosa: se sto facendo un integrale curivilineo, vuol dire che il dominio di integrazione è una curva giusto? UNa curva dunque ha una sola dimensione, la lunghezza e che significa che un vettorè è interno o esterno ad una curva?
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