Flusso di un campo vettoriale

[vin1985]

Ciao a tutti, sono nuovo in questo forum e mi scuso in anticipo nel caso commetta qualche errore.
Sono alle prese con il calcolo dei flussi dei campi vettoriali (dei rompicapi direi ), nella fattispecie il problema è questo:
- Detto T il qudrato del piano xy di vertici (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), si consideri la porzione di superficie, S, di equazione z=1-xy che si proietta in T, orientata concordemente con l'asse z e si calcoli il flusso attraverso S del campo vettoriale: $\bar w$(x,y,z)=xy$\hat i$ - z$\hat j$.

Ora: mentre con altri non ho avuto problemi (o quasi) con questo ho problemi ad impostarlo.
Qualcuno può spiegarmi come fare????

Dopo aver impostato non dovrebbe essere difficile, infatti:
-trovo le componenti del versore normale
-controllo il verso del flusso
-imposto l'integrale

[enr87]

il testo ti dà il dominio su cui calcolare l'integrale doppio, la parametrizzazione (cartesiana) della superficie e il campo vettoriale. cosa non capisci di preciso?

[Sk_Anonymous]

In ogni modo, dovresti svolgere il seguente integrale:
$\int_{0}^{1}dx int_{0}^{1}dy(x^2y+xy^2-x)$
Come dice enr87, non si capisce la difficoltà di questo esercizio rispetto ad altri. Anzi, oserei dire che difficilmente ne trovi di più semplici.

[vin1985]

Perchè si arriva a quest'integrale? Scusate ancora ma questi flussi mi stanno uccidendo

[Sk_Anonymous]

Avresti dovuto proporre almeno un tentativo di risoluzione, come da regolamento. Adesso che hai la soluzione, prova a ragionarci un po'.

[vin1985]

OK!!! Quindi:
Pongo x=x, y=y e z=1-xy, con 0 e mi trovo l'integrale $\int_0^1dx$$\int_0^1(xy^2-x^2y+xdy)$.
Giusto come ragionamento??

[Sk_Anonymous]

Quasi:
$J1=y$
$J2=x$
$J3=1$
Quindi fai il prodotto scalare con il campo vettoriale.

[vin1985]

Però J2 mi trovo sempre -x perchè:
$((1,0),(0,1),(-y,-x))$

[Sk_Anonymous]

Non utilizzo quelle formule, prova a ricontrollarle. Sicuramente hai dimenticato di cambiare un segno. In ogni modo, se vedi la superficie $xy+z-1=0$ come superficie di livello della funzione $f(x,y,z)=xy+z-1$ corrispondente al valore $0$, facendo il gradiente della funzione ottieni un vettore perpendicolare alla superficie medesima, $(y,x,1)$, senza troppi calcoli.