Flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti, ho un problema con il calcolo del flusso di un campo vettoriale, comunque ho le soluzione, ma faccio fatiche a capire anche quelle.. 
Ho il campo vettoriale: $F(x,y,z) = (0,0,z)$ e il solido: $S = {(x,y,z) in R^3 : 0 <= z <= sqrt(x^2 + y^2) - 1, x^2 + y^2 + z^2 <= 5}$
Allora, sò che devo trovare il la frontiera di $K$ cioè $\partial K$ trovarci la normale esterna relativa, e fare il prodotto scalare con il campo vettoriale.
La figura è l' intersezione di una sfera di raggio $sqrt(5)$ e di un "pezzo" di cono con la punta in $z = -1$ ma viene tagliato da $z = 0$.
Di conseguenza dovrei trovare la frontiera di K sul piano xy, cioè per $z = 0$, e applicando questa considerazione sulla prima disuguaglianza ottengo il cerchio di centro l' origine e raggio 1. ma tale curva ha il prodotto scalare con il camp vettoriale uguale a zero.
E fin qui tutto ok.
Ora devo trovare una parametrizzazione per l' estremo superiore della prima disuguaglianza, cioè: $z = sqrt(x^2 + y^2) - 1$, ed occuperà una corona circolare sul piano xy di raggio $1 <= R <= 2$ Quello che non capisco è proprio il 2. Quel punto dev' essere l' intersezione tra il cono e la sfera.
Quindi dovrei risolvere il sistema:
${(z = sqrt(x^2 + y^2) - 1), (z = sqrt(5 - x^2 - y^2)):}$
Ma viene una cosa del tipo: $x^2 + y^2 + 2sqrt(x^2 + y^2) = 4$
Cosa c'è che non va ?
Grazie a tutti..
Ho il campo vettoriale: $F(x,y,z) = (0,0,z)$ e il solido: $S = {(x,y,z) in R^3 : 0 <= z <= sqrt(x^2 + y^2) - 1, x^2 + y^2 + z^2 <= 5}$
Allora, sò che devo trovare il la frontiera di $K$ cioè $\partial K$ trovarci la normale esterna relativa, e fare il prodotto scalare con il campo vettoriale.
La figura è l' intersezione di una sfera di raggio $sqrt(5)$ e di un "pezzo" di cono con la punta in $z = -1$ ma viene tagliato da $z = 0$.
Di conseguenza dovrei trovare la frontiera di K sul piano xy, cioè per $z = 0$, e applicando questa considerazione sulla prima disuguaglianza ottengo il cerchio di centro l' origine e raggio 1. ma tale curva ha il prodotto scalare con il camp vettoriale uguale a zero.
E fin qui tutto ok.
Ora devo trovare una parametrizzazione per l' estremo superiore della prima disuguaglianza, cioè: $z = sqrt(x^2 + y^2) - 1$, ed occuperà una corona circolare sul piano xy di raggio $1 <= R <= 2$ Quello che non capisco è proprio il 2. Quel punto dev' essere l' intersezione tra il cono e la sfera.
Quindi dovrei risolvere il sistema:
${(z = sqrt(x^2 + y^2) - 1), (z = sqrt(5 - x^2 - y^2)):}$
Ma viene una cosa del tipo: $x^2 + y^2 + 2sqrt(x^2 + y^2) = 4$
Cosa c'è che non va ?
Grazie a tutti..
Risposte
Ciao. Considerato il campo che hai secondo me ti conviene di brutto usare il teorema di Gauss e, di fatto, calcolare il volume del tuo solido.
"alle.fabbri":
Ciao. Considerato il campo che hai secondo me ti conviene di brutto usare il teorema di Gauss e, di fatto, calcolare il volume del tuo solido.
Eh ma il testo dice di fare il calcolo in maniera diretta, cioè in questo modo, e poi con il teorema della divergenza. Non parla di Green, di cui sinceramente non ho neanche molto dimestichezza..
@stefano: Per "teorema di Gauss", probabilmente alle.fabbri intende il teorema della divergenza.
"dissonance":
@stefano: Per "teorema di Gauss", probabilmente alle.fabbri intende il teorema della divergenza.
Ah giusto, ieri sera alle 3 non ricordavo che una derivasse dall' altra..
Torno su questo problema dopo qualche giorno; dopo aver capito il calcolo del flusso in maniera diretta (risulta $7/3\pi$), sono passato al calcolo applicando il teorema della divergenza, ed ho avuto qualche problema..
Intando $d iv F = 1$ quindi dovrò imporre $\Phi = \int \int \int_K dxdydz => \int \int_{C_(1,2)} \int_{0}^{sqrt(x^2 + y^2} - 1} dzdxdy + \int \int_{C_(2,sqrt(5))} \int_{0}^{sqrt(5 - x^2 - y^2)} dzdxdy$ dove $C_(1,2)$ è la coreno circolare che va da 1 a 2 sul piano xy.
Il punto è che mi viene: $5/3\pi - 2/3\pi$, quindi pare che il secondo membro sia invertito.
Poi guardando sulle soluzioni, vedo che si utilizza un metodo molto più veloce che però non capisco..
$\Phi = \int \int \int_K dxdydz => \int_{0}^{1} dz \int \int_{C_z} dxdz => \int_{0}^{1} Area(C_z)dz => \pi\int_{0}^{1} 5 - z^2 - (z + 1)^2 dz$
Allora, limitare la z tra 0 e 1 è chiaro, ma non capisco come si riesca a mettere insieme le parti del solido..
Grazie per l' aiuto..
Intando $d iv F = 1$ quindi dovrò imporre $\Phi = \int \int \int_K dxdydz => \int \int_{C_(1,2)} \int_{0}^{sqrt(x^2 + y^2} - 1} dzdxdy + \int \int_{C_(2,sqrt(5))} \int_{0}^{sqrt(5 - x^2 - y^2)} dzdxdy$ dove $C_(1,2)$ è la coreno circolare che va da 1 a 2 sul piano xy.
Il punto è che mi viene: $5/3\pi - 2/3\pi$, quindi pare che il secondo membro sia invertito.
Poi guardando sulle soluzioni, vedo che si utilizza un metodo molto più veloce che però non capisco..
$\Phi = \int \int \int_K dxdydz => \int_{0}^{1} dz \int \int_{C_z} dxdz => \int_{0}^{1} Area(C_z)dz => \pi\int_{0}^{1} 5 - z^2 - (z + 1)^2 dz$
Allora, limitare la z tra 0 e 1 è chiaro, ma non capisco come si riesca a mettere insieme le parti del solido..
Grazie per l' aiuto..
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