Flusso di un campo vettoriale
buon pomeriggio a tutti,starei preparando l'esame di analisi II ma ho problemi a capire come si calcola il flusso di un campo vettoriale,vi chiedo se gentilmente potreste fornirmi dei metodi per la risoluzioni di questi.
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z)=(x^2,z^2,y^2z) $ attraverso la superficie di equazione $ z=sqrt(x^2+y^2) $ con $ 1
Ho calcolato le derivate parziali della superficie rispetto ad x ed y ( $ x/sqrt(x^2+y^2) $ e $ y/sqrt(x^2+y^2) $ ) e poi svolto il prodotto scalare tra $ (x,z^2,y^2z) $ e $ (x/sqrt(x^2+y^2),y/(sqrt(x^2+y^2)),1) $
cosi da trovarmi $ intint((x^2+yz^2+y^2zsqrt(x^2+y^2))/(sqr(x^2+y^2))) $
Però non ho capito come impostare l'integrale rispetto alla superficie e come risolverlo...grazie in anticipo per l'aiuto!
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z)=(x^2,z^2,y^2z) $ attraverso la superficie di equazione $ z=sqrt(x^2+y^2) $ con $ 1
Ho calcolato le derivate parziali della superficie rispetto ad x ed y ( $ x/sqrt(x^2+y^2) $ e $ y/sqrt(x^2+y^2) $ ) e poi svolto il prodotto scalare tra $ (x,z^2,y^2z) $ e $ (x/sqrt(x^2+y^2),y/(sqrt(x^2+y^2)),1) $
cosi da trovarmi $ intint((x^2+yz^2+y^2zsqrt(x^2+y^2))/(sqr(x^2+y^2))) $
Però non ho capito come impostare l'integrale rispetto alla superficie e come risolverlo...grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Vista la forma della superficie, forse conviene usare un altro sistema di coordinate[?].
"Raptorista":
Vista la forma della superficie, forse conviene usare un altro sistema di coordinate[?].
Polari?
Hai provato?
"Raptorista":
Hai provato?
sto provando con quelle sferiche visto che c'è anche z ma non riesco...
Condividi il tentativo con noi, non essere timido!
"Raptorista":
Condividi il tentativo con noi, non essere timido!
Allora premetto che sono alle prime armi con questi esercizi...
Sono passato a coordinate sferiche con $ { ( x= ),( ),( ):} $ $ { ( x=rhosin(phi)cos(vartheta) ),( y=rhosin(phi)sin(vartheta)),( z=rhocos(phi) ):} $ con $ 1
e poi ho sostituito nell'integrale,ma viene una roba assurda,non so come procedere...
Scrivi scrivi, per ora tutto bene...
"Raptorista":
Scrivi scrivi, per ora tutto bene...
$ intint_s(rho^2sin^2(phi)cos^2(vartheta)+rho^3sin(phi)sin(vartheta)cos^2(phi)+rho^3sin^2(phi)sin^2(vartheta)cos(phi)sqrt(rho^2sin^2(phi)cos^2(vartheta)+rho^2sin^2(phi)sin^2(vartheta)))/sqrt(rho^2sin^2(phi)cos^2(vartheta)+rho^2sin^2(phi)sin^2(vartheta)) $
La tua normale è sbagliata perché non ha modulo unitario, e inoltre l'esercizio ti chiede la normale "tendente verso il basso", il che significa che devi riscrivere l'equazione della superficie come \(\sqrt{x^2+y^2}-z = 0\) da cui, facendo le derivate parziali,
\[
n \parallel \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ -1 \end{pmatrix},
\]
che va poi normalizzata.
Ad ultimo, quelle grosse radici si possono eliminare subito, raccogliendo qualcosa.
\[
n \parallel \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ -1 \end{pmatrix},
\]
che va poi normalizzata.
Ad ultimo, quelle grosse radici si possono eliminare subito, raccogliendo qualcosa.
"Raptorista":
La tua normale è sbagliata perché non ha modulo unitario, e inoltre l'esercizio ti chiede la normale "tendente verso il basso", il che significa che devi riscrivere l'equazione della superficie come \(\sqrt{x^2+y^2}-z = 0\) da cui, facendo le derivate parziali,
\[
n \parallel \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ -1 \end{pmatrix},
\]
che va poi normalizzata.
Ad ultimo, quelle grosse radici si possono eliminare subito, raccogliendo qualcosa.
Considerando la formula generale $ phi=intint_sF(x,y,z)(-(df)/dx,-(df)/dy,1)dxdy $ la normale è la tripla (-(df)/dx,-(df)/dy,1) giusto?
Comunque ho riscritto l'integrale come $ intint_s(x^2,z^2,y^2z)(-(df)/dx,-(df)/dy,-1)dx dy $
è corretto?
La normale deve avere norma unitaria, punto. Le normali sono due e sono di segno opposto, quindi se prendi una e cambi il segno di una sola componente non ottieni l'altra.
"Raptorista":
La normale deve avere norma unitaria, punto. Le normali sono due e sono di segno opposto, quindi se prendi una e cambi il segno di una sola componente non ottieni l'altra.
non capisco,scusami....devo invertire i segni? ((df)/dx,(df)/dy,-1)
Sì!
"Raptorista":
Sì!
perfetto,ho riscritto il tutto come $ intint_s(rho^3sin^3(phi)cos^3(vartheta))/sqrt(rho^2sin^2(phi))+(rhosin(phi)sin(vartheta)rho^2cos^2(phi))/(sqrt(rho^2sin^2(phi)))-rho^2sin^2(phi)sin^3(vartheta)cos(phi) $
Che ho semplificato considerando $ sqrt(rho^2sin^2(phi))=rhosin(phi) $ con $ rho^2sin^2(phi)cos^3(vartheta)+rho^2sin(vartheta)cos^2(phi)-rho^3sin^2(phi)sin^2(vartheta)cos(phi) $
Ora mi chiedo:devo considerarlo come un integrale triplo visto che abbiamo 3 variabili?
Non è un integrale triplo perché la superficie è bidimensionale. Fissati due tra \(\rho,\theta,\phi\), il terzo è unicamente determinato. Ora, credo tu abbia capito che la superficie attraverso cui devi fare il flusso è la superficie laterale di un tronco di cono, tipo il cornetto quando mangi prima la punta. La sua proiezione sul piano \(xy\) è quindi una corona circolare, quindi io integrerei in \(\rho,\theta\) sul dominio \([1,2]\times[0,2\pi]\); a questo punto si vede che conveniva usare le coordinate cilindriche, in modo che poi \(z(\rho,\theta)\) è dato dall'espressione della superficie stessa.
"Raptorista":
Non è un integrale triplo perché la superficie è bidimensionale. Fissati due tra \(\rho,\theta,\phi\), il terzo è unicamente determinato. Ora, credo tu abbia capito che la superficie attraverso cui devi fare il flusso è la superficie laterale di un tronco di cono, tipo il cornetto quando mangi prima la punta. La sua proiezione sul piano \(xy\) è quindi una corona circolare, quindi io integrerei in \(\rho,\theta\) sul dominio \([1,2]\times[0,2\pi]\); a questo punto si vede che conveniva usare le coordinate cilindriche, in modo che poi \(z(\rho,\theta)\) è dato dall'espressione della superficie stessa.
Ok grazie mille di tutto,volevo chiederti solamente un ultima cosa:nel fare un cambiamento di coordinate devo calcolare lo jacobiano?
Direi di sì, devi riscaldare $dxdydz$!
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