Flusso di un Campo Vettoriale
Ciao a tutti!
Ho l'esame di Analisi II a breve, ma, purtroppo, a causa di vari problemi, ho parecchi dubbi su molti esercizi. Come ad esempio questi due:
1) Si calcoli il flusso del campo $ F-= (0, 0, z) $ attraverso la calotta sferica S $ z=root()(1-x^2-y^2) $ al variare di $ (x,y) $ nel cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente non negativa.
2) Si calcoli il flusso del rotore del campo vettoriale $ (y,z,x) $ attraverso la superficie S di equazione $ z=1-x^2-y^2 $ con $ (x,y) $ appartenente al cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
EDIT: Inizialmente il campo vettoriale del secondo esercizio era scritto male, ora l'ho corretto!
Svolgimento:
1) Calcolo il versore normale, calcolandomi le derivate parziali rispetto a x, y e z della funzione in forma esplicita della calotta sferica e dividendo il vettore trovato formato dalle derivate parziali per il modulo, ossia la radice quadrata del prodotto componente per componente del vettore normale trovato. Quindi dovrei fare l'integrale esteso alla frontiera di S del prodotto scalare di F e il versore normale... Giusto? Inoltre so che $ x^2 + y^2 <= 1 $... Non so, poi, come andare avanti...
2) Mi calcolo il rotore e il versore normale, poi dovrei calcolarmi l'integrale esteso ad S del prodotto vettoriale del rotore e del versore... Ma comunque non so più andare avanti...
So di non aver saputo spiegare bene gli svolgimenti e i miei problemi e mi scuso per questo. Purtroppo vado di fretta. Però credo che staserà potrò modificare il post, nel caso non si siano capiti i miei problemi!
Grazie anticipatamente per ogni piccolo aiuto
Ho l'esame di Analisi II a breve, ma, purtroppo, a causa di vari problemi, ho parecchi dubbi su molti esercizi. Come ad esempio questi due:
1) Si calcoli il flusso del campo $ F-= (0, 0, z) $ attraverso la calotta sferica S $ z=root()(1-x^2-y^2) $ al variare di $ (x,y) $ nel cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente non negativa.
2) Si calcoli il flusso del rotore del campo vettoriale $ (y,z,x) $ attraverso la superficie S di equazione $ z=1-x^2-y^2 $ con $ (x,y) $ appartenente al cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
EDIT: Inizialmente il campo vettoriale del secondo esercizio era scritto male, ora l'ho corretto!
Svolgimento:
1) Calcolo il versore normale, calcolandomi le derivate parziali rispetto a x, y e z della funzione in forma esplicita della calotta sferica e dividendo il vettore trovato formato dalle derivate parziali per il modulo, ossia la radice quadrata del prodotto componente per componente del vettore normale trovato. Quindi dovrei fare l'integrale esteso alla frontiera di S del prodotto scalare di F e il versore normale... Giusto? Inoltre so che $ x^2 + y^2 <= 1 $... Non so, poi, come andare avanti...
2) Mi calcolo il rotore e il versore normale, poi dovrei calcolarmi l'integrale esteso ad S del prodotto vettoriale del rotore e del versore... Ma comunque non so più andare avanti...
So di non aver saputo spiegare bene gli svolgimenti e i miei problemi e mi scuso per questo. Purtroppo vado di fretta. Però credo che staserà potrò modificare il post, nel caso non si siano capiti i miei problemi!
Grazie anticipatamente per ogni piccolo aiuto
Risposte
Per il primo viene molto utile il teorema della divergenza che dice che la divergenza di un campo vettoriale integrato su un volume è uguale al flusso del campo attraverso la superficie del volume.
Cioè:
$\int_V div\ \bbF\ dv= \int_(\Sigma) \bbF\cdot\bbn\ d\sigma$
Siccome qui la divergenza è costante, uguale a 1, l'integrale a sinistra è il volume della semisfera, cioè $2/3\pi$.
Ma $\Sigma$ è uguale alla calotta più la base $B={(x,y,z):z=0,\ x^2+y^2<=1}$
Sulla base il flusso valuta zero siccome $\bbF=(0,0,z)=\bb 0 $ per $z=0$.
Quindi il flusso attraverso la calotta è $2/3\pi$.
Per il secondo viene utile il teorema di Stokes, che come filosofia è simile al precedente.
L'integrale del rotore su una superficie è uguale alla circuitazione lungo il bordo della superfcie.
Il bordo del paraboloide in questione è la circonferenza $x^2+y^2=1$, per cui scegliamo la parametrizzazione $\gamma=(x,y,z)=(\cost, \sint,0)$.
Quindi calcoliamo $\gamma' = (-\sint, \cost, 0)$ e l'integrale diventa
$\int_0^(2\pi) \bbF \cdot \gamma' dt = \int_0^(2\pi) (\cost, 0, cost)\cdot(-\sint, \cost, 0)dt = \int_0^(2\pi) -sintcost\ dt = 1/2\ \cos^2t|_0^(2\pi)=0$
Cioè:
$\int_V div\ \bbF\ dv= \int_(\Sigma) \bbF\cdot\bbn\ d\sigma$
Siccome qui la divergenza è costante, uguale a 1, l'integrale a sinistra è il volume della semisfera, cioè $2/3\pi$.
Ma $\Sigma$ è uguale alla calotta più la base $B={(x,y,z):z=0,\ x^2+y^2<=1}$
Sulla base il flusso valuta zero siccome $\bbF=(0,0,z)=\bb 0 $ per $z=0$.
Quindi il flusso attraverso la calotta è $2/3\pi$.
Per il secondo viene utile il teorema di Stokes, che come filosofia è simile al precedente.
L'integrale del rotore su una superficie è uguale alla circuitazione lungo il bordo della superfcie.
Il bordo del paraboloide in questione è la circonferenza $x^2+y^2=1$, per cui scegliamo la parametrizzazione $\gamma=(x,y,z)=(\cost, \sint,0)$.
Quindi calcoliamo $\gamma' = (-\sint, \cost, 0)$ e l'integrale diventa
$\int_0^(2\pi) \bbF \cdot \gamma' dt = \int_0^(2\pi) (\cost, 0, cost)\cdot(-\sint, \cost, 0)dt = \int_0^(2\pi) -sintcost\ dt = 1/2\ \cos^2t|_0^(2\pi)=0$
Grazie mille!
Purtroppo sono messo veramente male negli esercizi sul flusso... Ma grazie alla tua risposta credo che riuscirò ad arrivare all'esame preparato.
Grazie ancora
Purtroppo sono messo veramente male negli esercizi sul flusso... Ma grazie alla tua risposta credo che riuscirò ad arrivare all'esame preparato.
Grazie ancora
[ot]
Qui mi sa che stiamo esagerando un tantino.
Comunque prego e in bocca al lupo.[/ot]
"ZxInfinitexZ":
Grazie mille!
Purtroppo sono messo veramente male negli esercizi sul flusso... Ma grazie alla tua risposta credo che riuscirò ad arrivare all'esame preparato.
Grazie ancora
Qui mi sa che stiamo esagerando un tantino.
Comunque prego e in bocca al lupo.[/ot]
"Quinzio":
[ot][quote="ZxInfinitexZ"]Grazie mille!
Purtroppo sono messo veramente male negli esercizi sul flusso... Ma grazie alla tua risposta credo che riuscirò ad arrivare all'esame preparato.
Grazie ancora
Qui mi sa che stiamo esagerando un tantino.
Comunque prego e in bocca al lupo.[/ot][/quote]
Beh, di sicuro avrò dei validi esempi sui quali ragionare e con i quali confrontarmi con altri esercizi
"Quinzio":
Per il primo viene molto utile il teorema della divergenza che dice che la divergenza di un campo vettoriale integrato su un volume è uguale al flusso del campo attraverso la superficie del volume.
Cioè:
$\int_V div\ \bbF\ dv= \int_(\Sigma) \bbF\cdot\bbn\ d\sigma$
Siccome qui la divergenza è costante, uguale a 1, l'integrale a sinistra è il volume della semisfera, cioè $2/3\pi$.
Ma $\Sigma$ è uguale alla calotta più la base $B={(x,y,z):z=0,\ x^2+y^2<=1}$
Sulla base il flusso valuta zero siccome $\bbF=(0,0,z)=\bb 0 $ per $z=0$.
Quindi il flusso attraverso la calotta è $2/3\pi$.
Volevo domandare; il flusso non dovrebbe essere \(\displaystyle 2/3 pi \) qualsiasi sia il campo vettoriale:
Intendo, c'era bisogno di calcolare ''manualmente'', il flusso sul piano z=0? Credevo che calcolado l'integrale triplo della divergenza calcolassimo il flusso su un ipotetica superficie, reale o immaginaria, che ''avvolge il volume di spazio considerato...
se così fosse era superfluo , o no?
La mia non è un' asserzione, è un dubbio
Saluti
L'esercizio chiedeva il flusso attraverso una calotta sferica.
Così è stata calcolata la divergenza sul volume che è uguale al flusso sulla frontiera del volume, cioè la superficie che avvolge il volume.
La superficie che avvolge il volume è fatta da due pezzi la calotta e poi la base che chiude la calotta (come se fosse un coperchio rovesciato).
Siccome a noi interessa solo il flusso attraverso la calotta, DEVO sottrarre il flusso attraverso la base.
Cioè:
DIVERGENZA VOLUME=FLUSSO FRONTIERA
FLUSSO FRONTIERA=FLUSSO CALOTTA+FLUSSO BASE.
La frontiera avvolge il volume come un sacchetto di plastica sottovuoto che racchiude un oggetto.
Non so se ti è più chiaro.
Non so cosa volevi dire qui, ma direi che è l'esatto contrario di quello che si vuole fare !
Così è stata calcolata la divergenza sul volume che è uguale al flusso sulla frontiera del volume, cioè la superficie che avvolge il volume.
La superficie che avvolge il volume è fatta da due pezzi la calotta e poi la base che chiude la calotta (come se fosse un coperchio rovesciato).
Siccome a noi interessa solo il flusso attraverso la calotta, DEVO sottrarre il flusso attraverso la base.
Cioè:
DIVERGENZA VOLUME=FLUSSO FRONTIERA
FLUSSO FRONTIERA=FLUSSO CALOTTA+FLUSSO BASE.
La frontiera avvolge il volume come un sacchetto di plastica sottovuoto che racchiude un oggetto.
Non so se ti è più chiaro.
Volevo domandare; il flusso non dovrebbe essere 2/3 \pi qualsiasi sia il campo vettoriale
Non so cosa volevi dire qui, ma direi che è l'esatto contrario di quello che si vuole fare !
grazie..
Il punto è mi era sfuggito che il problema richiedesse il flusso solo attraverso la calotta sferica, senza il brodo del piano.
Grazie ancora
Il punto è mi era sfuggito che il problema richiedesse il flusso solo attraverso la calotta sferica, senza il brodo del piano.
Grazie ancora
Salve a tutti, cercando su internet qualche spiegazione su come risolvere il flusso di un campo su una calotta sferica, mi sono imbattuto casualmente su questa pagina che riporta esattamente lo stesso ed identico esercizio che devo risolvere io. (SOLO PUNTO 1) Il mio problema è che riguardo quest'esercizio sono proprio a zero, conosco la teoria, il teorema della divergenza ma non so proprio praticamente come affrontarlo. Leggendo la spiegazione data ho capito teoricamente come fare, ma mi chiedo ai fini di un esame come imposto l'esercizio?
1)Per applicare il teorema della divergenza calcolo la divF e arrivo al risultato che è 1. Fin qui ci siamo.
2)Ragionando effettivamente dato che è 1 l'integrale restituisce come risultato il volume della calotta, e il ragionamento non fa una piega, ma se il prof volesse che si calcolasse lo stesso, cioè almeno scrivendo l'integrale triplo in dx dy dz con gli estremi come ricavo i suddetti?Provo a farci io un ragionamento...
Allora sapendo che z=sqrt(1-x^2-y^2) so che la z varia da zero al valore della radice perché giustamente la radice non assumerà mai valori negativi! Per gli estremi relativi ad x ed y invece mi vien da pensare che siano semplicemente -1 ,1 poiché la base della calotta è una circonferenza di raggio 1.
E' giusto il mio ragionamento?
1)Per applicare il teorema della divergenza calcolo la divF e arrivo al risultato che è 1. Fin qui ci siamo.
2)Ragionando effettivamente dato che è 1 l'integrale restituisce come risultato il volume della calotta, e il ragionamento non fa una piega, ma se il prof volesse che si calcolasse lo stesso, cioè almeno scrivendo l'integrale triplo in dx dy dz con gli estremi come ricavo i suddetti?Provo a farci io un ragionamento...
Allora sapendo che z=sqrt(1-x^2-y^2) so che la z varia da zero al valore della radice perché giustamente la radice non assumerà mai valori negativi! Per gli estremi relativi ad x ed y invece mi vien da pensare che siano semplicemente -1 ,1 poiché la base della calotta è una circonferenza di raggio 1.
E' giusto il mio ragionamento?
Come non detto, risolto!
gli estremi di z erano quelli che dicevo mentre per x e y si considera come dominio la circonferenza si passa in cordinate polari e calcolando esce fuori 2/3 pi
gli estremi di z erano quelli che dicevo mentre per x e y si considera come dominio la circonferenza si passa in cordinate polari e calcolando esce fuori 2/3 pi
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