Flusso di un campo vet. e versore normale

[maryenn1]

Ciao a tutti,sto facendo alcuni esercizi sui flussi di campi vettoriali e ho un dubbio,cioè: quando calcolo il flusso tramite la sua definizione,scrivo la superficie in forma parametrica,poi calcolo le sue derivate parziali e per calcolare la normale effettuo il loro prodotto vettoriale,la mia domanda è quando vado a calcolare l'integrale del prodotto scalare del campo vettoriale per la normale devo considerare il vettore normale o il versore normale?Occorre allora normalizzare il vettore normale prima di effettuare il prodotto scalare?
Inoltre,in alcuni casi è chiaramente richiesto che la terza componente del vettore normale sia positiva o negativa,mentre in altri so che il vettore deve essere uscente o entrante e non riesco a capire come distinguerlo!

[gordnbrn]

"maryenn":
Quando calcolo il flusso tramite la sua definizione...

Se non è richiesto esplicitamente e devi calcolare un integrale di superficie, non è necessario normalizzarlo.

"maryenn":
In alcuni casi è chiaramente...

Lo calcoli esplicitamente in un punto e vedi se si tratta di quello richiesto. Per vedere se è orientato verso l'interno o verso l'esterno, mi aiuterei con la figura.

[maryenn1]

Se ad esempio,devo calcolare il flusso uscente dalla porzione di paraboloide $z=1-x^2-y^2$ contenuta nel semispazio $z>=0$,se ad esempio mi trovo che la normale è $n=(0,0,p)$,come faccio a capire se è orientata nel verso uscente?

[gordnbrn]

"maryenn":
Se ad esempio,devo calcolare il flusso uscente dalla porzione di paraboloide $z=1-x^2-y^2$ contenuta nel semispazio $z>=0$,se ad esempio mi trovo che la normale è $n=(0,0,p)$,come faccio a capire se è orientata nel verso uscente?

Tipicamente, le superfici con cui hai a che fare sono facilmente visualizzabili. Nel tuo esempio, ti faccio notare che mi hai dato il vettore normale solo nel vertice ma è sufficiente, dipende dal segno di p. Se positivo verso l'esterno, se negativo verso l'interno. In pratica, si calcola il vettore normale in un punto e, con l'aiuto della figura, si controlla se è quello corretto. Non lo fosse, si cambia di segno a tutte le componenti.

[maryenn1]

Quindi se $ 0<=p<=1$,quindi positivo e il verso richiesto è uscente,non devo cambiare di segno,giusto?
Inoltre quando calcolo il flusso come integrale del prodotto scalare tra campo vettoriale e normale,cambia se utilizzo il versore normale o il vettore normale? Potrei ad esempio calcolare il prodotto scalare tra campo vettoriale e $n=(0,0,1)$ invece del prodotto scalare tra campo vet. e $n=(0,0,p)$ ?

[gordnbrn]

Sì, anche se sarebbe stato meglio postare l'esempio. Giusto pe capire cosa intendi per p.

P.S.
Hai capito perchè non è necessario normalizzare il vettore normale per eseguire il calcolo? Non è che puoi fare una o l'altra cosa indifferentemente. O meglio, per calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, conviene integrare il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il vettore normale. Se vuoi complicarti la vita, puoi integrare il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il versore nomale, ma poi dovresti moltiplicare per l'elemento di superficie, che non è altro che il modulo del vettore normale. Si ottiene la stessa cosa, nel primo caso risparmi tempo.