Flusso di un campo con la divergenza
Ciao a tutti ,
sono alle prese con questo esercizio : Calcolare il flusso uscente dal solido espresso in coordinate cilindriche $\Omega = {(rho , theta , z) : rho^2 +z^2 -6rho + 8<0}$ del campo $F (x,y,z)=(xy-z^2 , z-y^2 , x^2 +z(1+y))$
Applico il teorema di Gauss o della divergenza , quindi calcolo la divergenza :
$Div F = y-2y+1+y =1$
Quindi devo calcolare $int int int_\Omega drho d theta dz $.
Quì ho un dubbio : essendo $\Omega = {(rho , theta , z) : rho^2 +z^2 -6rho + 8<0}$ avrei pensato a due modi :
1) dato che $\Omega$ risulta essere la circonferenza $(rho-3)^2 +z^2=1$ ma poi ho molti problemi a determinare gli intervalli di variazione;
2) proseguo per fili paralleli all'asse z.
Ma sono un pò confuso ...poteti darmi una mano ?
Grazie
sono alle prese con questo esercizio : Calcolare il flusso uscente dal solido espresso in coordinate cilindriche $\Omega = {(rho , theta , z) : rho^2 +z^2 -6rho + 8<0}$ del campo $F (x,y,z)=(xy-z^2 , z-y^2 , x^2 +z(1+y))$
Applico il teorema di Gauss o della divergenza , quindi calcolo la divergenza :
$Div F = y-2y+1+y =1$
Quindi devo calcolare $int int int_\Omega drho d theta dz $.
Quì ho un dubbio : essendo $\Omega = {(rho , theta , z) : rho^2 +z^2 -6rho + 8<0}$ avrei pensato a due modi :
1) dato che $\Omega$ risulta essere la circonferenza $(rho-3)^2 +z^2=1$ ma poi ho molti problemi a determinare gli intervalli di variazione;
2) proseguo per fili paralleli all'asse z.
Ma sono un pò confuso ...poteti darmi una mano ?
Grazie
Risposte
E' un toro, no ?
Hai un toro che come sezione ha due cerchi di raggio 1 e centro a distanza 3 dall'origine.
Siccome la divergenza è 1, in pratica hai da calcolare il volume del toro, ad es. usando il teorema di Guldino Pappo,
Hai un toro che come sezione ha due cerchi di raggio 1 e centro a distanza 3 dall'origine.
Siccome la divergenza è 1, in pratica hai da calcolare il volume del toro, ad es. usando il teorema di Guldino Pappo,
purtroppo quel teorema , sicuramente validissimo , non l'ho studiato ; altre vie?
Ciao a tutti ,
rieccomi a provare il solito esercizio.
"Calcolare il flusso uscente dal solido espresso in coordinate cilindriche $\Omega = {(rho,theta,z): rho^2+z^2 -6rho +8 <0}$ del campo vettoriale $F(x,y,z) = (xy−z^2,z−y^2,x^2 +z(1+y))$"
Per prima cosa un'osservazione su $\Omega$ , notiamo che è l'equazione di un cilindro nello spazio (o una circonferenza nel piano $rho z$ con equazione $(rho -3)^2 + z^2 =1$.
Poi iniziamo ad impostare il problema che voglio risolvere col teorema di Gauss (della divergenza) quindi :
$Div F(x,y,z)=y-2y+1+y=1$.
Quindi l'integrale che devo risolvere è $int int int 1 dxdydz$. E' giusto fino qua ?
Qui però mi trovo un po in difficoltà. Quello che mi confonde è il solido dato in coordinate cilindriche sin dall'inizio.
Come devo proseguire da qui ??
Grazie
rieccomi a provare il solito esercizio.
"Calcolare il flusso uscente dal solido espresso in coordinate cilindriche $\Omega = {(rho,theta,z): rho^2+z^2 -6rho +8 <0}$ del campo vettoriale $F(x,y,z) = (xy−z^2,z−y^2,x^2 +z(1+y))$"
Per prima cosa un'osservazione su $\Omega$ , notiamo che è l'equazione di un cilindro nello spazio (o una circonferenza nel piano $rho z$ con equazione $(rho -3)^2 + z^2 =1$.
Poi iniziamo ad impostare il problema che voglio risolvere col teorema di Gauss (della divergenza) quindi :
$Div F(x,y,z)=y-2y+1+y=1$.
Quindi l'integrale che devo risolvere è $int int int 1 dxdydz$. E' giusto fino qua ?
Qui però mi trovo un po in difficoltà. Quello che mi confonde è il solido dato in coordinate cilindriche sin dall'inizio.
Come devo proseguire da qui ??
Grazie
Ma è uguale a quello di prima ?
Si lo so non avrei dovuto ... ma non rispondevi più allora ho provato a ripostarlo perchè purtroppo la strada che mi avevi proposto tu non l'ho studiata
Quel teorema si studia in 4^ superiore, e non fa male conoscerlo se a uno non gliel'hanno spiegato, comunque se proprio non lo vogliamo usare, impostiamo l'integrale in c.cilindriche.
$\int_(0)^(2\pi)\int_(2)^(4)\int_(-\sqrt(1-(\rho-3)^2))^(\sqrt(1-(\rho-3)^2)) \ \rho\ \ dz\ d\rho\ d\phi$
Ti ritrovi ?
$\int_(0)^(2\pi)\int_(2)^(4)\int_(-\sqrt(1-(\rho-3)^2))^(\sqrt(1-(\rho-3)^2)) \ \rho\ \ dz\ d\rho\ d\phi$
Ti ritrovi ?
Scusami se l'ho riproposto davvero e grazie per aver nuovamente risposto...
praticamente z è compreso tra due funzioni e sarebbe un integrazione per fili giusto ?
Poi $phi$ tra $0$ e $2pi$ ci sono ; ma perchè $rho$ tra 2 e 4 ??
No scusa ci sono ho capito ..adesso provo a risolverlo e posto la soluzione ..Grazie !!
praticamente z è compreso tra due funzioni e sarebbe un integrazione per fili giusto ?
Poi $phi$ tra $0$ e $2pi$ ci sono ; ma perchè $rho$ tra 2 e 4 ??
No scusa ci sono ho capito ..adesso provo a risolverlo e posto la soluzione ..Grazie !!
[xdom="Seneca"]Ho riunito i due thread sullo stesso esercizio. Cerca di non creare più doppie discussioni, grazie.[/xdom]
@Quinzio scusa il ritardo ...
se lo risolvo in questo modo ottengo un integrale un pò difficilotto (o difficilotto per me) :
$2 int_0^(2pi) int_2^4 rho sqrt(1-(rho-3)^2) drho dphi =4pi int_2^4 rho sqrt(1-(rho-3)^2) drho $
se lo risolvo in questo modo ottengo un integrale un pò difficilotto (o difficilotto per me) :
$2 int_0^(2pi) int_2^4 rho sqrt(1-(rho-3)^2) drho dphi =4pi int_2^4 rho sqrt(1-(rho-3)^2) drho $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo