Flusso di un campo attraverso superficie data
ciao a tutti,
ho trovato in rete un esercizio svolto che credo però sia stato risolto con degli errori... è il primo esercizio che si trova qui: http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/ ... Stokes.pdf
lo riporto qui:
calcolare il flusso di
$F(x,y,z) = ({2x}/{x^2+y^2}, {3y}/{x^2+y^2}, 1)$
attraverso la superficie:
$a(u,v) = (ucos(v), usin(v), u^2)$ con $0
per prima cosa, mi calcolo il vettore normale alla superficie:
\(\begin{vmatrix} i & j & k \\ cos(v) & sin(v) & 2u \\ -usin(v) & ucos(v) & 0 \end{vmatrix} = (-2u^2cos(v), -2u^2sin(v), 1) = \vec k\)
nella matrice qui sopra, la seconda riga è $\partial_u a$, la terza è $\partial_v a$.
il vettore normale che ho mi vien chiesto ha la direzione data da $\vec k$, ma verso opposto. quindi lo ribalto con un segno $-$ e lo normalizzo: $\vec n = - {\vec k} / {|\vec k|}$
fin qui tutto ok, è uguale a quanto scritto sul pdf. ma proprio qui iniziano le prime differenze...
infatti $|\vec k| = \sqrt{4u^4+u^2}$
mentre sul pdf trovo $|\vec k| = 4u^4+u^2$ che è invece la norma quadra! (errore 1)
ma andiamo ancora avanti, perchè non è questo l'unico errore che trovo.
ora che ho il vettore normale alla superficie ed il campo, devo semplicemente mettere questi ingredienti nell'integrale.
e qui io ho un dubbio:
l'integrale è $\int_a F \cdot \vec n da$
questo $da$ è da intendere come $da = dxdy$, dico bene? e quindi se voglio passare dalle coordinate $(x,y)$ alle coordinate $(u,v)$ devo calcolarmi lo jacobiano $J$ del cambio di variabili: $da = dxdy = |J| dudv$ (errore 2?)
a me non sembra che nel pdf venga fatto questo passaggio.
osservo infatti che la trasformazione $(u = u(x,y), v = v(x,y))$ è il cambio di variabili da cartesiani a polari dato che posso porre
$x = ucos(v), y = usin(v)$
quindi $dxdy = u dudv$
posto che questo cambio di variabili vada effettivamente fatto, metto ora tutto nell'integrale:
$\int_a F \cdot \vec n da = \int_a ({2x}/{x^2+y^2}, {3y}/{x^2+y^2}, 1) \cdot \frac{(2u^2cos(v), 2u^2sin(v), -1)}{\sqrt{4u^4+u^2}} dxdy =$
$= \int_a \frac{(2ucos(v), 3usin(v), u^2)}{u^2} \cdot \frac{(2u^2cos(v), 2u^2sin(v), -1)}{\sqrt{4u^4+u^2}} u dudv =$
$= \int_a \frac{(4u^3 cos^2(v) + 6u^3sin^2(v) -u^2)}{u\sqrt{4u^4+u^2}} dudv$
ho ottenuto un integrale diverso da quello presente nel pdf. ed è diverso perchè:
- io ho nomalizzato il vettore normale con la sua norma e non con la sua norma quadra - e credo di aver fatto bene
- ho inserito lo jacobiano nel cambio di variabili da cartesiani $(x,y)$ a polari $(u,v)$ - qui sono meno fiducioso di aver fatto bene
ho ragione io o l'autore del pdf? non lo chiedo perchè mi interessa iniziare una invettiva nei confronti del tizio ovviamente, ma per capire se commetto o meno errori io.
come sempre: grazie in anticipo per le risposte
ho trovato in rete un esercizio svolto che credo però sia stato risolto con degli errori... è il primo esercizio che si trova qui: http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/ ... Stokes.pdf
lo riporto qui:
calcolare il flusso di
$F(x,y,z) = ({2x}/{x^2+y^2}, {3y}/{x^2+y^2}, 1)$
attraverso la superficie:
$a(u,v) = (ucos(v), usin(v), u^2)$ con $0
per prima cosa, mi calcolo il vettore normale alla superficie:
\(\begin{vmatrix} i & j & k \\ cos(v) & sin(v) & 2u \\ -usin(v) & ucos(v) & 0 \end{vmatrix} = (-2u^2cos(v), -2u^2sin(v), 1) = \vec k\)
nella matrice qui sopra, la seconda riga è $\partial_u a$, la terza è $\partial_v a$.
il vettore normale che ho mi vien chiesto ha la direzione data da $\vec k$, ma verso opposto. quindi lo ribalto con un segno $-$ e lo normalizzo: $\vec n = - {\vec k} / {|\vec k|}$
fin qui tutto ok, è uguale a quanto scritto sul pdf. ma proprio qui iniziano le prime differenze...
infatti $|\vec k| = \sqrt{4u^4+u^2}$
mentre sul pdf trovo $|\vec k| = 4u^4+u^2$ che è invece la norma quadra! (errore 1)
ma andiamo ancora avanti, perchè non è questo l'unico errore che trovo.
ora che ho il vettore normale alla superficie ed il campo, devo semplicemente mettere questi ingredienti nell'integrale.
e qui io ho un dubbio:
l'integrale è $\int_a F \cdot \vec n da$
questo $da$ è da intendere come $da = dxdy$, dico bene? e quindi se voglio passare dalle coordinate $(x,y)$ alle coordinate $(u,v)$ devo calcolarmi lo jacobiano $J$ del cambio di variabili: $da = dxdy = |J| dudv$ (errore 2?)
a me non sembra che nel pdf venga fatto questo passaggio.
osservo infatti che la trasformazione $(u = u(x,y), v = v(x,y))$ è il cambio di variabili da cartesiani a polari dato che posso porre
$x = ucos(v), y = usin(v)$
quindi $dxdy = u dudv$
posto che questo cambio di variabili vada effettivamente fatto, metto ora tutto nell'integrale:
$\int_a F \cdot \vec n da = \int_a ({2x}/{x^2+y^2}, {3y}/{x^2+y^2}, 1) \cdot \frac{(2u^2cos(v), 2u^2sin(v), -1)}{\sqrt{4u^4+u^2}} dxdy =$
$= \int_a \frac{(2ucos(v), 3usin(v), u^2)}{u^2} \cdot \frac{(2u^2cos(v), 2u^2sin(v), -1)}{\sqrt{4u^4+u^2}} u dudv =$
$= \int_a \frac{(4u^3 cos^2(v) + 6u^3sin^2(v) -u^2)}{u\sqrt{4u^4+u^2}} dudv$
ho ottenuto un integrale diverso da quello presente nel pdf. ed è diverso perchè:
- io ho nomalizzato il vettore normale con la sua norma e non con la sua norma quadra - e credo di aver fatto bene
- ho inserito lo jacobiano nel cambio di variabili da cartesiani $(x,y)$ a polari $(u,v)$ - qui sono meno fiducioso di aver fatto bene
ho ragione io o l'autore del pdf? non lo chiedo perchè mi interessa iniziare una invettiva nei confronti del tizio ovviamente, ma per capire se commetto o meno errori io.
come sempre: grazie in anticipo per le risposte
Risposte
"Ziel van brand":
per prima cosa, mi calcolo il vettore normale alla superficie:
\begin{vmatrix} i & j & k \\ cos(v) & sin(v) & 2u \\ -usin(v) & ucos(v) & 0 \end{vmatrix} $= (-2u^2cos(v), -2u^2sin(v), 1)$
Occhio, perché ha scritto $1$, invece di $u$.
"Ziel van brand":
il vettore normale che ho mi vien chiesto ha la direzione data da $\vec k$, ma verso opposto. quindi lo ribalto con un segno $-$ e lo normalizzo: $\vec n = - {\vec k} / {|\vec k|}$
Tieni conto che la norma del vettore normale in un integrale di superficie non è nemmeno strettamente necessaria, infatti, data una superficie in forma parametrica $\bb\phi(u,v)$, dalla definizione di integrale di superficie per il flusso hai:
$\mathcalF_S=\int\int_{D}[\bbF[\bb\phi(u,v)]*[\phi_u(u,v)xx\phi_v(u,v)]/[||\phi_u(u,v)xx\phi_v(u,v)||]]||\phi_u(u,v)xx\phi_v(u,v)||dudv=$
$=\int\int_{D}{\bbF[\bb\phi(u,v)]*[\phi_u(u,v)xx\phi_v(u,v)]}dudv=\int_{S}\bbF*\bbndS$
"Ziel van brand":
ma andiamo ancora avanti, perchè non è questo l'unico errore che trovo.
ora che ho il vettore normale alla superficie ed il campo, devo semplicemente mettere questi ingredienti nell'integrale.
e qui io ho un dubbio:
l'integrale è $\int_a F \cdot \vec n da$
questo $da$ è da intendere come $da = dxdy$, dico bene? e quindi se voglio passare dalle coordinate $(x,y)$ alle coordinate $(u,v)$ devo calcolarmi lo jacobiano $J$ del cambio di variabili: $da = dxdy = |J| dudv$
$\int_{a}\bbF*\bbnda$ è la definizione di flusso, quindi $da$ indica l'elemento infinitesimo della superficie, che si traduce in $\mathcalF_S$. La considerazione che ho fatto prima dovrebbe fugare ogni dubbio! Il Jacobiano non serve.
L'impostazione dell'integrale del prof è giusta, ma non posso confermarti il risultato finale $\pi$ perchè non l'ho svolto tutto!
ok ho imparato la lezione: mai contraddire un prof, la probabilità di avere ragione è... trascurabile
grazie
grazie
Ci sono passato anche io prendendo delle gran facciate ahaha
beh, mai contraddire un prof di mate almeno! con altri professori ho avuto più fortuna 
grazie comunque. è bello scoprire queste cose così tardi XD
grazie comunque. è bello scoprire queste cose così tardi XD
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