Flusso di F attraverso S

[Andrea18931]

Salve a tutti, tra pochi giorni ho l'esame di Analisi 2 e non riesco a capire come calcolare il flusso attraverso una superficie ne con la definizione ne con il teorema della divergenza. Vi propongo 2 esercizi per cercare di capire (lo spero) un procedimento semplice per trovare questo flusso.

1) Dato il solido $A = { (x,y,z) \in \mathbb{R^2} : 0 \le z \le 2 , x^2/4 + y^2/9 \le 1+z^2},$ si calcoli con teorema della divergenza il flusso uscente da A del campo vettoriale $F(x,y,z) = (x,-y/2,x^2-e^y).$
Risp. $14\pi$

Vi spiego il mio procedimento probabilmente sbagliato. Ho disegnato questo solido, un paraboloide ellittico credo, e ho trovato la div $F = 1/2$. Per il teorema della divergenza dovrebbe essere $\int_V Div F dx dy dz$.
Ora però non saprei da dove cominciare per impostare l'integrale, forse per strati? ma come?
Grazie in anticipo. Una volta capito questo vi posto il secondo problema sennò faccio casino per niente

[Antimius]

Quella quadrica è un iperboloide iperbolico (a una falda), non un paraboloide ellittico. Altrimenti avresti $z$ e non $z^2$. Comunque, a parte questo, per calcolare l'integrale ti consiglio di passare in coordinate cilindriche a base ellittica:
$$\begin{cases} x = 2 \rho \cos \theta \\ y = 3 \rho \sin \theta \end{cases}$$
Così ottieni $$\int dx dy dx = \int_{0}^{2\pi} d \theta \int_0^2 dz \int_0^{1+z^2} 6 \rho d\rho = 2\pi \int_0^2 dz \int_0^{1+z^2} 6 \rho d\rho$$

Osserva che quello che stai facendo in questo modo, in sostanza, è integrare per strati, come suggerivi. Infatti stiamo integrando le aree delle varie sezioni orizzontali, che sono ellissi, e la loro area è calcolata tramite coordinate ellittiche

[Andrea18931]

Grazie mille per la risposta. Unica domanda: dove devo usare la divergenza nell'integrale? E' possibile che sia $\int_0^{\sqrt{1+z^2}} 1/2 6 \rho d\rho$ . In questo modo mi viene corretto il risultato e uso la divergenza.

[Andrea18931]

Vi posto il secondo problema. Se riesco a capire questo penso possa bastare perchè contiene tutte e 4 le cose da sapere.
Si consideri il campo vettoriale $F=(x,y,z^2)$ e la superficie S data dalla frontiera del dominio $ \Omega = {(x,y,z) \in \mathbb{R^3} : -1 \le z \le -x^2-y^2}.$
a)Disegnare $\Omega$ e trovare il flusso di F uscente da S usando la definizione.
b)Calcolarlo con il teorema della divergenza [Ris = $\pi/3$]
c)Trovare il flusso del rot F uscente dalla superficie S privata della parte contenuta in z=-1 prima con il teorema di Stokes
d) poi con la definizione [Ris = 0]

Prodedimento adottato: calcolo la divergenza $=2(1+z)$ e imposto l'integrale come sopra
$\int_0^{2\pi} d\Theta \int_-1^0 dz \int_-1^{\sqrt{z}} 2(1+z) \rho d\rho$
Se non ho sbagliato qualche calcolo però mi viene come risultato $4\pi /3$ che non va bene.
Questo però utilizzando la divergenza. Con la soluzione come si procederebbe?

Punto c) Usando Stokes parametrizzo il cerchio formato da x e y con $\gamma = (\cos\theta, \sin\theta, -1)$; trovo la derivata $\gamma' = (\sin\theta, -\cos\theta, 0)$ e imposto l'integrale
$\int_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \cos\theta\sin\theta +0) = 0$
Qui mi sembra corretto come procedimento però usando la definizione non saprei come fare.

Un ultimo aiuto a capire questo per favore

[Antimius]

"Andrea1893":Grazie mille per la risposta. Unica domanda: dove devo usare la divergenza nell'integrale? E' possibile che sia $\int_0^{\sqrt{1+z^2}} 1/2 6 \rho d\rho$ . In questo modo mi viene corretto il risultato e uso la divergenza.

Sì.

"Andrea1893":Vi posto il secondo problema. Se riesco a capire questo penso possa bastare perchè contiene tutte e 4 le cose da sapere.
Si consideri il campo vettoriale $ F=(x,y,z^2) $ e la superficie S data dalla frontiera del dominio $ \Omega = {(x,y,z) \in \mathbb{R^3} : -1 \le z \le -x^2-y^2}. $
a)Disegnare $ \Omega $ e trovare il flusso di F uscente da S usando la definizione.
b)Calcolarlo con il teorema della divergenza [Ris = $ \pi/3 $]
c)Trovare il flusso del rot F uscente dalla superficie S privata della parte contenuta in z=-1 prima con il teorema di Stokes
d) poi con la definizione [Ris = 0]

Prodedimento adottato: calcolo la divergenza $ =2(1+z) $ e imposto l'integrale come sopra
$ \int_0^{2\pi} d\Theta \int_-1^0 dz \int_-1^{\sqrt{z}} 2(1+z) \rho d\rho $
Se non ho sbagliato qualche calcolo però mi viene come risultato $ 4\pi /3 $ che non va bene.
Questo però utilizzando la divergenza. Con la soluzione come si procederebbe?

Punto c) Usando Stokes parametrizzo il cerchio formato da x e y con $ \gamma = (\cos\theta, \sin\theta, -1) $; trovo la derivata $ \gamma' = (\sin\theta, -\cos\theta, 0) $ e imposto l'integrale
$ \int_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \cos\theta\sin\theta +0) = 0 $
Qui mi sembra corretto come procedimento però usando la definizione non saprei come fare.

Un ultimo aiuto a capire questo per favore

Hai sbagliato gli estremi di integrazione: è $0 \leq \rho \leq \sqrt{-z}$

Per quanto riguarda l'ultimo punto, devi parametrizzare la superficie, trovare la normale e applicare la definizione di flusso di un campo $F$: $$\int \langle F, n \rangle d\sigma$$ che scritto tramite una parametrizzazione $(u,v) \in U \subseteq \mathbb{R}^2 \mapsto \phi(u,v) \in \mathbb{R}^3$ diventa:
$$\int \langle F(\phi(u,v)), \frac{\phi_u \wedge \phi_v}{\|\phi_u \wedge \phi_v \|} \rangle \| \phi_u \wedge \phi_v \| du dv = \int \langle F(\phi(u,v)), \phi_u \wedge \phi_v \rangle du dv$$

Ovviamente nel tuo caso non stai calcolando il flusso di $F$ ma di $\rot F$ e quindi nell'integrale c'è il rotore di $F$ e non $F$.

[Andrea18931]

Grazie infinite. Spero di riuscire a fare il resto di esercizi per conto mio

[Antimius]

Prego!