Flusso della velocità attraverso una superficie variabile nel tempo

[dRic]

Stavo rimaneggiando un po' questa equazione ($\int_S v d \mathbf S$). Il problema che mi ero posto è quello di calcolare il flusso della velocità attraverso una superficie variabile nel tempo (ovvero in espansione o in compressione). Ovviamente la velocità è la derivata nel tempo del vettore posizione. Sono fattibili questi passaggi ?

$$\int_S v \space d \mathbf S = \int_S \frac {d \mathbf r} {dt} \cdot \mathbf n \space dS = \int_S \frac {d( \mathbf r \cdot \mathbf n)} {dt} \space dS = \int_S \frac {d \mathbf r_{\bot}} {dt} \space dS = \frac d {dt} \int_S r_{\bot} \space dS = \frac {dV} {dt} $$

Dove ho improvvisato che $$ \int_S r_{\bot} \space dS $$ sia V.

PS: Per definizione sarebbe $- \frac {dV}{dt} $

[cooper1]

il punto saliente mi sembra essere quello scambio tra derivata ed integrale: dovresti poterlo fare se la superficie S non dipende anche lei dal tempo. non stando così le cose quel passaggio non mi sembra giustificato. dovresti per esempio calcolare il rapporto incrementale tenendo conto anche della variazione della superficie.
il discorso mi sembra analogo a quando in elettromagnetismo vogliamo trovare l'equazione del rotore di $vecE$ e la situazione è diversa quando prendiamo una superficie stazionaria e quando invece questa varia.

[dRic]

Si, ci avevo pensato anche io. Però avevo questa idea in mente che siccome la superficie si sta espandendo o comprimendo,ma non sta cambiando forma, si potesse fare. Facendo un analogo fisico con la fluido-dinamica il risultato finale mi pare corretto, però non saprei come si può giustificare rigorosamente.

[cooper1]

secondo me il mantenere costante la forma non ti permette il cambio: la superficie potrebbe per esempio muoversi ed in quel caso varierebbe nel tempo. se però dici che il risultato torna o comunque può aver senso non saprei nemmeno io come giustificarlo.

[dRic]

Boh, più ci penso più mi pare di aver detto una cavolata, ma non mi viene in mente nulla...

[donald_zeka]

Non ce'è niente da calcolare, l'integrale $int_(S(t))v*ndA$ rimane così e basta, ciò che si può scrivere in altra forma è la derivata di quel integrale rispetto al tempo una volta noto l'andamento di $S(t)$, o meglio una volta noto l'andamento del campo di velocità con cui si muove S(t).

[dRic]

Ok dimenticatevi questo post (chiudetelo se volete). E' nato da una fissa mia di essermi incartato su questo caso particolare e di cercare di generalizzarlo (cosa che non ha senso perché è appunto un caso particolare!)

Vi "allego" per completezza quello a cui stavo pensando:

Consideriamo questo caso particolare: un gas che espande in un cilindro con pistone contro una pressione costante. Il lavoro, o meglio, la potenza è data dalla formula $-P\frac{dV}{dt}$. Stavo cercando di ricavare questa formula integrando il termine $\nabla \cdot (P \mathbf v) $ su tutto il volume. Applicando il teo. della divergenza all'integrale di volume e considerando il bilancio dalla parte del contorno porto fuori P e dovrei ritrovarmi quell'integrale della velocità.

PS: Se devo essere sincero un minimo si può generalizzare, ma -almeno nella mia mente!- è così legato a concetti fisici che non riesco a pensarlo in matematica "pura", quindi non ha propio senso questo post. Chiedo venia per le bischerate che ho scritto