Flusso del Rotore
Salve a tutti. Ho un po di problemi con questo esercizio e vi chiedo gentilmente se qualcuno dedicherebbe un po di tempo per provare a risolverlo per poter fare un confronto con la mia soluzione:
Dato il campo vettoriale in R3, $ F(x,y,z)=(−2z^2 , x^3 ,2x^3y^2 ) $ ,
calcolare il flusso del rotore di F attraverso una superficie Σ il cui bordo è la curva
$ Γ := {x = 2cost, y = 2sint, z =1, 0 ≤ t ≤ 2π } $.
Eseguire il calcolo sia direttamente, sia applicando il Teorema di Stokes.
Io ottengo come risultato con il calcolo diretto 12π mentre con stokes ho dei problemi.
Vi ringrazio gia da ora!
Dato il campo vettoriale in R3, $ F(x,y,z)=(−2z^2 , x^3 ,2x^3y^2 ) $ ,
calcolare il flusso del rotore di F attraverso una superficie Σ il cui bordo è la curva
$ Γ := {x = 2cost, y = 2sint, z =1, 0 ≤ t ≤ 2π } $.
Eseguire il calcolo sia direttamente, sia applicando il Teorema di Stokes.
Io ottengo come risultato con il calcolo diretto 12π mentre con stokes ho dei problemi.
Vi ringrazio gia da ora!
Risposte
Ti conviene prendere, ad esempio, come \(\Sigma\) il cerchio di raggio \(2\) che ha la curva data come bordo, orientato con la normale \(\nu = (0,0,1)\). Di conseguenza \(\text{rot} F \cdot \nu\) sarà la terza componente del rotore di \(F\). Devi solo calcolarla e integrarla sul cerchio.
In pratica con Stokes bisogna calcolare la circuitazione attorno al bordo.
Quindi parametrizziamo il bordo come:
$ \bb\gamma(\theta)=(2cos\theta, 2sin\theta,0) $
di cui calcoliamo il vettore tangente
$\bb\gamma'(\theta)= d\bb\gamma = (-2sin\theta, 2cos\theta, 0)$
Quindi calcoliamo la circuitazione
$\int_(\bb\gamma) \bbF \cdot d\bb\gamma$
dove $x=2cos\theta$, $y= 2sin\theta$
$\int_0^(2\pi)(-2, 8cos^3\theta, 16cos^3\thetasin^2\theta)\cdot(-2sin\theta, 2cos\theta, 0)d\theta$
$\int_0^(2\pi) (4sin\theta+16 cos^4\theta)d\theta$
il primo addendo fa zero, quindi rimane
$\int_0^(2\pi) 16 cos^4\thetad\theta$
$\int_0^(2\pi) 4 (1+cos2\theta)^2 d\theta$
$\int_0^(2\pi) 4 (1+2cos2\theta+1/2(1+cos4\theta)) d\theta$
anche qui i termini col coseno daranno zero, quindi rimane
$\int_0^(2\pi) 4 (1+1/2) d\theta = 12\pi$
Quindi parametrizziamo il bordo come:
$ \bb\gamma(\theta)=(2cos\theta, 2sin\theta,0) $
di cui calcoliamo il vettore tangente
$\bb\gamma'(\theta)= d\bb\gamma = (-2sin\theta, 2cos\theta, 0)$
Quindi calcoliamo la circuitazione
$\int_(\bb\gamma) \bbF \cdot d\bb\gamma$
dove $x=2cos\theta$, $y= 2sin\theta$
$\int_0^(2\pi)(-2, 8cos^3\theta, 16cos^3\thetasin^2\theta)\cdot(-2sin\theta, 2cos\theta, 0)d\theta$
$\int_0^(2\pi) (4sin\theta+16 cos^4\theta)d\theta$
il primo addendo fa zero, quindi rimane
$\int_0^(2\pi) 16 cos^4\thetad\theta$
$\int_0^(2\pi) 4 (1+cos2\theta)^2 d\theta$
$\int_0^(2\pi) 4 (1+2cos2\theta+1/2(1+cos4\theta)) d\theta$
anche qui i termini col coseno daranno zero, quindi rimane
$\int_0^(2\pi) 4 (1+1/2) d\theta = 12\pi$
grazie mille per le risposte. Praticamente per stokes ho fatto circa come ha svolto Quinzio. Pensavo avessi sbagliato visto il risultato che avevo ottenuto 
mi è venuto un altro dubbio riguardo a come calcolare la normale in questo caso essendo parametrizzata solo in t e non invece in due parametri
mi è venuto un altro dubbio riguardo a come calcolare la normale in questo caso essendo parametrizzata solo in t e non invece in due parametri
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