Flusso del campo vettoriale, ci sono?
Dato $V = {(x,y,z) \in R^3: x^2 + y^2 + z^2 <= 4/3 ; x^2 + y^2 <= z^2 ; 0<=z <= 1}$ e dette $S$ la sua frontiera, calcolare il flusso del campo vettoriale $F (x,y,z) = (xz, -y, z)$ uscente da $S$.
Si può applicare il teorema della divergenza poichè la superficie è chiusa e non possiede bordi, corretto?
$\Phi = \int \int \int _V \nabla\ F\ dx\ dy\ dz = \int \int \int _V \z\ dx\ dy\ dz$
In coordinate sferiche trovo due limitazioni per $\rho$ in quanto:
$0<= \rho <= 2 / \sqrt{3}$ e $0<=\rho <= 1 / (\cos \theta)$ e so anche che $\cos^2 \phi >= \sin^2 \phi$
Allora per $\rho$ devo scegliere il valore minimo delle limitazione che mi daranno anche gli intervalli dell'angolo, però come faccio per quelli di $\phi$ ?
$\int_0^(\pi/6) d\theta \int_0^(1 / \cos \theta) \rho^3 d\rho \int \sin \phi \cos \phi\ d\phi+ \int_(\pi/6)^(\pi/2) d\theta \int_0^(2 / \sqrt{3}) \rho^3 d\rho \int \sin \phi \cos \phi d\phi$
Mi potete spiegare, vorrei risolverlo in questo modo
Grazie mille
Si può applicare il teorema della divergenza poichè la superficie è chiusa e non possiede bordi, corretto?
$\Phi = \int \int \int _V \nabla\ F\ dx\ dy\ dz = \int \int \int _V \z\ dx\ dy\ dz$
In coordinate sferiche trovo due limitazioni per $\rho$ in quanto:
$0<= \rho <= 2 / \sqrt{3}$ e $0<=\rho <= 1 / (\cos \theta)$ e so anche che $\cos^2 \phi >= \sin^2 \phi$
Allora per $\rho$ devo scegliere il valore minimo delle limitazione che mi daranno anche gli intervalli dell'angolo, però come faccio per quelli di $\phi$ ?
$\int_0^(\pi/6) d\theta \int_0^(1 / \cos \theta) \rho^3 d\rho \int \sin \phi \cos \phi\ d\phi+ \int_(\pi/6)^(\pi/2) d\theta \int_0^(2 / \sqrt{3}) \rho^3 d\rho \int \sin \phi \cos \phi d\phi$
Mi potete spiegare, vorrei risolverlo in questo modo
Grazie mille
Risposte
le integrazioni per strati non le abbiamo fatte..ho usato correttamente il teorema? Nella maniera in cui lo stavo risolvendo è corretto? $\phi$ come lo trovo?
Grazie mille
Grazie mille
grazie mille per la risposta!
Certo avevo fatto confusione con gli angoli...una volta arrivati a capire che $\cos^2 \phi <= \sin^2 \phi -> \tan^2 \phi$ se $\phi \ne \pi/2$ so anche da prima che $\cos \phi $ è positivo e come faccio a essere sicuro che al massimo oscilla tra $0$ e $\pi/4$?
Certo avevo fatto confusione con gli angoli...una volta arrivati a capire che $\cos^2 \phi <= \sin^2 \phi -> \tan^2 \phi$ se $\phi \ne \pi/2$ so anche da prima che $\cos \phi $ è positivo e come faccio a essere sicuro che al massimo oscilla tra $0$ e $\pi/4$?
è che non sono sicuro di aver capito! comunque dici che la mia condizione $\tan^2 \phi <= 1$ è sbagliata? arriverei comunque al risultato, ma col fatto che tutto è elevato al quadrato non ne sono neanche sicuro, ecco perchè te lo chiedevo!
Grazie mille 
Una cosa ho rifatto da capo due volte l'esercizio e mi viene $- \pi / 36$...
Grazie
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