Flusso del campo vettoriale attraverso la superfice
Ciao a tutti, vi scrivo il testo completo in modo tale da rendere semplice la comprensione dell'esercizio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z)=(x,y,z^2) attraverso la superfice z=3-sqrt(x^2+y^2), 0<=z<=2 orientata in modo che il vettore normale nel punto (3,0,0) abbia terza componente positiva.
Partendo dal presupposto che non so disegnare questa superfice ho provato a parametrizzarla ottenendo
{x=PcosQ
{y=PsenQ P->[1,9] Q->[0,2PI] z->[0,2]
{z=z
(1 e 9 li ho ottenuti considerando che 1<=sqrt(x^2+y^2)<=3 )
Adesso ho applicato il teorema della divergenza in modo tale da trasformare l'integrale lungo la frontiera della sup del prodotto scalare tra F e ni (normale alla sup) nell'integrale triplo esteso a S (superfice) della divergenza di F...ho fatto anche il calcolo e mi esce un insipito 128PI
però la domanda è...il dato della superfice orientata in modo che la normale abbia terza componente 3 non l'ho proprio usato allora mi sa che non dovevo applicare la divergenza. Come fare?? GRAZIE
Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z)=(x,y,z^2) attraverso la superfice z=3-sqrt(x^2+y^2), 0<=z<=2 orientata in modo che il vettore normale nel punto (3,0,0) abbia terza componente positiva.
Partendo dal presupposto che non so disegnare questa superfice ho provato a parametrizzarla ottenendo
{x=PcosQ
{y=PsenQ P->[1,9] Q->[0,2PI] z->[0,2]
{z=z
(1 e 9 li ho ottenuti considerando che 1<=sqrt(x^2+y^2)<=3 )
Adesso ho applicato il teorema della divergenza in modo tale da trasformare l'integrale lungo la frontiera della sup del prodotto scalare tra F e ni (normale alla sup) nell'integrale triplo esteso a S (superfice) della divergenza di F...ho fatto anche il calcolo e mi esce un insipito 128PI
però la domanda è...il dato della superfice orientata in modo che la normale abbia terza componente 3 non l'ho proprio usato allora mi sa che non dovevo applicare la divergenza. Come fare?? GRAZIE
Risposte
Per prima cosa: con la parametrizzazione, la superficie si riscrive come $z=3-\rho$, da cui, essendo $0\le z\le 2$ si ha pure $\rho\in[1,3]$, non ti pare?
Per la faccenda della normale: tu applichi la divergenza (e va anche bene) però ricorda che il teorema prevede una superficie chiusa e la normale uscente. Ora, hai verificato queste due cose? Probabilmente la normale che ti viene indicata potrebbe essere entrante, e in quel caso il teorema va lievemente modificato.
P.S.: e poi, non vorrei sbagliare, ma quella superficie non è chiusa, per cui nell'applicazione del teorema della divergenza dovrai usare un ulteriore superficie che serva a chiudere il volume su cui integri.
Per la faccenda della normale: tu applichi la divergenza (e va anche bene) però ricorda che il teorema prevede una superficie chiusa e la normale uscente. Ora, hai verificato queste due cose? Probabilmente la normale che ti viene indicata potrebbe essere entrante, e in quel caso il teorema va lievemente modificato.
P.S.: e poi, non vorrei sbagliare, ma quella superficie non è chiusa, per cui nell'applicazione del teorema della divergenza dovrai usare un ulteriore superficie che serva a chiudere il volume su cui integri.
per la questione di P hai perfettamente ragione..ho ottenuto 1,9 e ne dovevo fare la radice...
la divergenza quindi non posso applicarla :S
cosa mi consigli di fare?
la divergenza quindi non posso applicarla :S
cosa mi consigli di fare?
Non ho detto che non puoi applicarla, ma che devi stare attento a come lo fai. Io comunque, direi che il calcolo diretto del flusso non è poi impossibile... anzi. Per cui andrei a fare quello direttamente.
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