Flusso del campo vettoriale
Salve io ho questo esercizio e vorrei sapere se sto procedendo correttamente:
Calcolare il flusso del campo vettoriale w(x,y,z)= $x^2 i-zk$ uscente dalla superficie chiusa, S , generalmente regolare (superficie totale di un tronco di cono) ottenuta unendo la porzione ,$S_1$ di superficie conica di equazione $Z=root(2)(x^2+y^2)$ con 1$<=$z$<=$4 con i cerchi rispettivamente di centro (0,0,1) e raggio 1 contenuto nel piano Z=1 e di centro (0,0,4) e raggio 4 contenuto nel piano Z=4 .
Innanzitutto ho impostato l'equazioni parametriche cilindriche per cui ho:
$\{(x=u cos\alpha),(y=u sin\alpha),(z=u):}$
ora mi sono andato a calcolare i minori a segno alterno della matrice J:
$\((cos\alpha,-u sin\alpha),(sin\alpha, ucos\alpha),(1,0))$
ed ho : $J_1=-ucos\alpha$, $J_2=-usin\alpha$, $J_3=u$.
Ora vado a svolgere l'integrale del prodotto scalare tra il campo vettore e i minori trovati e quindi ho l'integrale doppio:
$\int_1^4 int_0^(2\pi) -u^3cos^3\alpha-u^2 du d\alpha$
ora alcuni miei amici mi dicono che devo moltiplicare per il determinate dello Jacobiano, e altra cosa non riesco a capire se il flusso e entrante o uscente e di conseguenza non riesco a vedere se prima dell'integrale c'è bisogno di un segno meno. Grazie in anticipo
Calcolare il flusso del campo vettoriale w(x,y,z)= $x^2 i-zk$ uscente dalla superficie chiusa, S , generalmente regolare (superficie totale di un tronco di cono) ottenuta unendo la porzione ,$S_1$ di superficie conica di equazione $Z=root(2)(x^2+y^2)$ con 1$<=$z$<=$4 con i cerchi rispettivamente di centro (0,0,1) e raggio 1 contenuto nel piano Z=1 e di centro (0,0,4) e raggio 4 contenuto nel piano Z=4 .
Innanzitutto ho impostato l'equazioni parametriche cilindriche per cui ho:
$\{(x=u cos\alpha),(y=u sin\alpha),(z=u):}$
ora mi sono andato a calcolare i minori a segno alterno della matrice J:
$\((cos\alpha,-u sin\alpha),(sin\alpha, ucos\alpha),(1,0))$
ed ho : $J_1=-ucos\alpha$, $J_2=-usin\alpha$, $J_3=u$.
Ora vado a svolgere l'integrale del prodotto scalare tra il campo vettore e i minori trovati e quindi ho l'integrale doppio:
$\int_1^4 int_0^(2\pi) -u^3cos^3\alpha-u^2 du d\alpha$
ora alcuni miei amici mi dicono che devo moltiplicare per il determinate dello Jacobiano, e altra cosa non riesco a capire se il flusso e entrante o uscente e di conseguenza non riesco a vedere se prima dell'integrale c'è bisogno di un segno meno. Grazie in anticipo
Risposte
nessuno può darmi una mano ?? 
Per prima cosa: mi pare che il flusso sia quello attraverso il tronco di cono che ha le basi alle quote $z=1,\ z=4$. Pertanto, dovresti scomporre l'integrale su $S$ nella somma dei tre integrali sulle due basi e sulla superficie laterale. Ora, per definizione, se $\Sigma$ è una superficie, il flusso attraverso essa di un campo $F$ è datto dalla relazione
$\Phi(F)_\Sigma=\int_\Sigma F\cdot n\ d\sigma$
dove $n$ è il versore normale alla superficie $\Sigma$. Pertanto, in tutti e tre gli integrali dovrai procedere al modo seguente:
1) determina una parametrizzazione delle superfici (quella che hai scritto va bene per la superficie laterale del tronco di cono, ma che parametrizzazione utilizzeresti per le due basi?);
2) determina il versore normale uscente relativo alle superfici (che si ricava a partire dalle parametrizzazioni)
3) calcola il prodotto scalare tra versore e campo ed esegui gli integrali.
$\Phi(F)_\Sigma=\int_\Sigma F\cdot n\ d\sigma$
dove $n$ è il versore normale alla superficie $\Sigma$. Pertanto, in tutti e tre gli integrali dovrai procedere al modo seguente:
1) determina una parametrizzazione delle superfici (quella che hai scritto va bene per la superficie laterale del tronco di cono, ma che parametrizzazione utilizzeresti per le due basi?);
2) determina il versore normale uscente relativo alle superfici (che si ricava a partire dalle parametrizzazioni)
3) calcola il prodotto scalare tra versore e campo ed esegui gli integrali.
1)alla per i due basi essendo delle circonferenze $\{(x=x),(y=y),(z=1):}$ con (x,y) appartenente alla prima circonferenza e cosi anche per la seconda solo che la z mi diventa Z=2
2) il versore normale non e quello calcolato dai minori a segno alterno nella matrice sopra?
2) il versore normale non e quello calcolato dai minori a segno alterno nella matrice sopra?
"TheFlame":
1)alla per i due basi essendo delle circonferenze $\{(x=x),(y=y),(z=1):}$ con (x,y) appartenente alla prima circonferenza e cosi anche per la seconda solo che la z mi diventa Z=2
2) il versore normale non e quello calcolato dai minori a segno alterno nella matrice sopra?
Giuste entrambe le cose: in particolare però, nel caso delle basi, il versore normale risulta abbastanza immediato.
"ciampax":
[quote="TheFlame"]1)alla per i due basi essendo delle circonferenze $\{(x=x),(y=y),(z=1):}$ con (x,y) appartenente alla prima circonferenza e cosi anche per la seconda solo che la z mi diventa Z=2
2) il versore normale non e quello calcolato dai minori a segno alterno nella matrice sopra?
Giuste entrambe le cose: in particolare però, nel caso delle basi, il versore normale risulta abbastanza immediato.[/quote]
mi chiedevo se per le basi (dove ci sono le circonferenze) quali intervalli sulle x e sulle y vadano usati
io avevo pensato di usare anche li le coordinate cilindriche (dopo aver trovato il versore banalmente dalle coordinate parametriche
$x=x$
$y=y$
$z=0$
il quale versore è $(1,0,1)$
vi trovate?
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