Flusso campo vettoriale.
Salve ragazzi sono sempre io 
.Mi sono imbattuto in un esercizio in cui non so proprio cosa fare, e il mio libro di testo non ha esercizi simili a questo che mi è stato assegnato dal professore del corso, da cui posso trarre esempio.L'esercizio è il seguente:
Dati i campi vettoriali $F1(x,y)=(0,arctg y/x)$ e $F2(x,y)=(-2x^3y,-1/2x^4)$ e i domini $D1={(x,y): 1<=x<=2, x^2<=y<=2x^2}$,
$D2={(x,y):x^2+y^2<=1}$. Calcolare il flusso di Fi uscende dalla frontiera di Di.Non so proprio da dove partire, se qualcuno vuole illustrarmi la retta vita,suppondo si debba usare il teorema della divergenza.Un grazie anticipato.
.Mi sono imbattuto in un esercizio in cui non so proprio cosa fare, e il mio libro di testo non ha esercizi simili a questo che mi è stato assegnato dal professore del corso, da cui posso trarre esempio.L'esercizio è il seguente:Dati i campi vettoriali $F1(x,y)=(0,arctg y/x)$ e $F2(x,y)=(-2x^3y,-1/2x^4)$ e i domini $D1={(x,y): 1<=x<=2, x^2<=y<=2x^2}$,
$D2={(x,y):x^2+y^2<=1}$. Calcolare il flusso di Fi uscende dalla frontiera di Di.Non so proprio da dove partire, se qualcuno vuole illustrarmi la retta vita,suppondo si debba usare il teorema della divergenza.Un grazie anticipato.
Risposte
Devi semplicemente calcolare il flusso del campo $F_1$ attraverso $D_1$ e il flusso di $F_2$ attraverso $D_2$. Qui hai dei domini nel piano e dei campi nel piano: pertanto ti chiedo, dal momento che il flusso si calcola attraverso la frontiera, cosa sono le frontiere (o i bordi, se preferisci) di quei due domini? Fatto questo, basta semplicemente impostare i calcoli.
Non ho capito il senso della domanda ciampax...
Te lo spiego dopo con calma, ora vado a pranzare! 
Quello che dice ciampax dovrebbe essere di "camminare" lungo il bordo del dominio, facendo l'integrale così:
[tex]\oint_{\partial D} \mathbf{F \cdot \hat n} \ d \mathbf{l}[/tex]
cioè del pr. scalare tra flusso e versore normale.
[tex]\oint_{\partial D} \mathbf{F \cdot \hat n} \ d \mathbf{l}[/tex]
cioè del pr. scalare tra flusso e versore normale.
e come calcolo il flusso? e il versore normale???
Se consideriamo un campo vettoriale in 3 dimensioni, il flusso attraverso la superficie $S$ (considerata quale bordo del solido $V$, cioè $S=\partial V$) si definisce come [tex]$\Phi(F)=\int_S F\cdot n\ d\sigma$[/tex] dove $n$ rappresenta la normale esterna alla superficie. Se ora consideriamo un dominio piano $D$, allora calcolare il flusso di un campo vettoriale $F$ nel piano stesso equivale a calcolare il seguente integrale [tex]$\Phi(F)=\int_{\partial D} F\cdot n\ d\ell$[/tex] dove $n$ rappresenta la normale uscente alla curva $\partial D$ che rappresenta il bordo del dominio $D$ stesso.
A questo punto è una questione di applicare il concetto di integrale curvilineo: prima di tutto, determina una parametrizzazione della frontiera $\partial D$; dopodiché calcola il versore normale: per fare ciò, osserva che se $r(t)$ è una parametrizzazione, allora $T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$ è il versore tangente e $n(t)=\frac{T'(t)}{|T'(t)|}$ e il versore normale. A quel punto, basta usare la definizione di integrale di curva di prima specie: data una curva $\gamma:\ r(t)=(x(t),y(t)),\ t\in[a,b]$ e una funzione scalare $g(x,y)$ allora l'integrale curvilineo di prima specie è
[tex]$\int_\gamma g(x,y)\ d\ell=\int_a^b g(x(t),y(t))\ |r'(t)|\ dt$[/tex]
nel tuo caso la funzione da considerare è data da $g(x,y)=F\cdot n$ (inteso come prodotto scalare).
prova un po' e fammi sapere.
A questo punto è una questione di applicare il concetto di integrale curvilineo: prima di tutto, determina una parametrizzazione della frontiera $\partial D$; dopodiché calcola il versore normale: per fare ciò, osserva che se $r(t)$ è una parametrizzazione, allora $T(t)=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$ è il versore tangente e $n(t)=\frac{T'(t)}{|T'(t)|}$ e il versore normale. A quel punto, basta usare la definizione di integrale di curva di prima specie: data una curva $\gamma:\ r(t)=(x(t),y(t)),\ t\in[a,b]$ e una funzione scalare $g(x,y)$ allora l'integrale curvilineo di prima specie è
[tex]$\int_\gamma g(x,y)\ d\ell=\int_a^b g(x(t),y(t))\ |r'(t)|\ dt$[/tex]
nel tuo caso la funzione da considerare è data da $g(x,y)=F\cdot n$ (inteso come prodotto scalare).
prova un po' e fammi sapere.
Ora ci dedico un pò di tempo, anche perchè ho trovato delle spiegazioni abbastanza simili provenienti dal politecnico di torino.
Ora ci dedico un pò di tempo, anche perchè ho trovato delle spiegazioni abbastanza simili provenienti dal politecnico di torino.
Comunque si riesce a fare agevolmente, senza calcoli assurdi.
Cosa non riesci a fare ?
Cosa non riesci a fare ?
in linea teorica so che è un argomento che ho ampiamente trattato per l esame di fisica 2.Il problema è che è stato trattato a livello puramente teorico.Non ho mai visto un esercizio svolto su queste cose e il mio libro di analisi 2 nè è carente.Ciononostante il mio professore ha assegnato questo ed esercizi simili per esercitazione in vista dell esame.
i miei problemi più grandi vengono dalla parametrizzazione delle curve, se potresti illustrarmi anche in linea teorica passo,passo il da farsi te ne sarò grato.
Beh, mi sembra la cosa più semplice.
Come parametrizzi $y=x^2$ in modo da scrivere $z = g(x(t),y(t))=0$ ?
$x(t) = $ ?
$y(t) = $ ?
Come parametrizzi $y=x^2$ in modo da scrivere $z = g(x(t),y(t))=0$ ?
$x(t) = $ ?
$y(t) = $ ?
Perdonami per le assurdità che ti dirò.
x(t)=$t^2$
y(t)=t ?
x(t)=$t^2$
y(t)=t ?
Beh faccio la prova:
$t=2$
$x=4$
$y=2$
mentre con $y=x^2$ viene $y=4^2= 16$
No, non va.
$t=2$
$x=4$
$y=2$
mentre con $y=x^2$ viene $y=4^2= 16$
No, non va.
Dovrebbe essere tutto l opposto quindi
x(t)=t
y(t)=$t^2$.
x(t)=t
y(t)=$t^2$.
Certo.
e una volta operata la parametrizzazione?
L'esercizio devi provare a farlo tu però.
I passaggi fondamentali sono già stati più o meno esposti.
I passaggi fondamentali sono già stati più o meno esposti.
in tutta franchezza io non ci ho capito un tubo.L'unica cosa che è chiara e che si deve parametrizzare la curva.Preferirei magari una risoluzione di un esercizio simile, non il mio che però serva realmente a farmi capire il problema.Ci voglio anche provare a farlo ma non so che devo fare...
Non vorrei dire baggianate, ma se applicassi il teorema della divergenza, rozzamente calcolo la divergenza e poi calcolo l'integrale doppio su D non va bene giusto? cioè:
$ div F_2 = - 6 x^2 y $
in coordinate polari
$\rho \in [0,1]$
$\theta \in [0,2 \pi]$
$\int \int_{x^2 + y^2 <= 1} - 6 x^2 y dx dy$
da cui lo riscrivo inm funzione di $\rho$ e $\theta$
lo devo fare per forza calcolando il bordo? :S pls illuminatemi! xD
$ div F_2 = - 6 x^2 y $
in coordinate polari
$\rho \in [0,1]$
$\theta \in [0,2 \pi]$
$\int \int_{x^2 + y^2 <= 1} - 6 x^2 y dx dy$
da cui lo riscrivo inm funzione di $\rho$ e $\theta$
lo devo fare per forza calcolando il bordo? :S pls illuminatemi! xD
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