Flusso campo vettoriale

and1991
Sia S la superficie di rotazione descritta dal segmento z=x, x appartenente [1,2],con una rotazione di un angolo giro intorno all'asse z. Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(y,-x,3z)$attraverso S nella direzione del campo normale.

Per calcolare il flusso applico il teorema della divergenza.Essendo questa pari a 3,mi resta da calcolare $ int int int 3\ dx\ dy\ dz $ che corrisponde al volume del tronco di cono moltiplicato per 3.Leggendo da wikipedia che il volume del tronco di cono è dato dalla formula $V=1/3 pi*h(R^2+rR+r^2)$con h l'altezza,r la base minore,R base maggiore, il volume mi trovo che è $7/3pi$che moltiplicato per 3 mi da $7pi$.
Se invece mi voglio risolvo l'integrale triplo esteso a D dominio di $R^3$,mi calcolo il dominio che risulta essere ${1<=x^2+y^2<=4,1<=z<=2}$e passando a coordinate cilindriche diventa ${1<=rho<=2, 1<=z<=2,0<=theta<=2pi}$.L'integrale triplo diventa quindi $3int_(1)^(2)dz int_(0)^(2pi)dtheta int_(1)^(2) rho$(che è lo jacobiano) $drho$ e svolgendo questi semplici calcoli viene $9pi$.Ora i 2 risultati non dovrebbero essere uguali?Perchè non capisco dove sbaglio. Grazie

Risposte
Sk_Anonymous
L'insieme che hai scritto:

${1<=x^2+y^2<=4,1<=z<=2}$

non corrisponde al tronco di cono di cui hai parlato all'inizio.

and1991
hm è la z che non va?

Sk_Anonymous
Stai considerando il volume compreso tra due cilindri, del cono non c'è traccia.

and1991
forse ho capito $sqrt(x^2+y^2)<=z<=1$? non lo so magari è banale ma non riesco a trovare la limitazione di z

Sk_Anonymous
La parte interna del cono in coordinate cartesiane è $x^2+y^2<=z^2$, in coordinate cilindriche $\rho^2<=z^2$.

and1991
ahh quindi verrebbe $rho<=z<=2$ ç_ç

Sk_Anonymous
$3int_(1)^(2)dz int_(0)^(2pi)d\theta int_(0)^(z)d\rho\rho$

and1991
grazie per la pazienza.....:)

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