Flusso campo vettoriale
Ho problemi a calcolare il flusso del seguente campo vettoriale $\vec F(x.y.z)=(xysen(yz)+x^3,cos(yz),3zy^2-e^(x^2+y^2))$ attraverso la superficie chiusa $\partialD$ dove $D={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0<=z<=4-x^2-y^2}$
Il flusso sul disco di base non mi da problemi e viene $\pi(e^4-1)$ ma non ho i risultati per verificare.
Il problema è il flusso attraverso la superficie del paraboloide perchè mi vengono fuori degli integrali parecchio complicati,anche passando in polari, che sinceramente non ho neanche iniziato a svolgere per non perdere tempo...consigli?...c'è qualche trucchetto che mi sfugge?
Il flusso sul disco di base non mi da problemi e viene $\pi(e^4-1)$ ma non ho i risultati per verificare.
Il problema è il flusso attraverso la superficie del paraboloide perchè mi vengono fuori degli integrali parecchio complicati,anche passando in polari, che sinceramente non ho neanche iniziato a svolgere per non perdere tempo...consigli?...c'è qualche trucchetto che mi sfugge?
Risposte
"delbi":
...c'è qualche trucchetto che mi sfugge?
Si, devi integrare la divergenza su tutto il volume.
Si certo ho provato pure quello ma integrare la divergenza $\vec\nabla\vecF=ysen(yz)+3x^2-zsen(yz)+3y^2$ non mi risulta facile ne per fili ne per sezioni...dovrei risolvere integrali del tipo
$\int_{\Omega}(\int_{0}^{4-x^2-y^2}\vec\nabla\vecFdz)dxdy$ dove $\Omega={(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<=4}$
$\int_{0}^{4}(\int_{S_z}\vec\nabla\vecFdxdy)dz$ dove $S_z={(x.y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<=4-z}$
$\int_{\Omega}(\int_{0}^{4-x^2-y^2}\vec\nabla\vecFdz)dxdy$ dove $\Omega={(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<=4}$
$\int_{0}^{4}(\int_{S_z}\vec\nabla\vecFdxdy)dz$ dove $S_z={(x.y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<=4-z}$
Beh qualcosa si puo' fare.
Ad esempio $3x^2 + 3 y^2$ e' trattabile se si passa in coordinate polari.
Per $z sin(yz)$, bisogna notare che $z sin(yz) + z sin(-yz) = 0$, quindi il suo l'integrale e' zero.
Rimane quel $y sin(yz)$ che integrato lungo z da $-cos(yz)$, ma poi non si va molto oltre (almeno io non vado molto oltre...)
Ad esempio $3x^2 + 3 y^2$ e' trattabile se si passa in coordinate polari.
Per $z sin(yz)$, bisogna notare che $z sin(yz) + z sin(-yz) = 0$, quindi il suo l'integrale e' zero.
Rimane quel $y sin(yz)$ che integrato lungo z da $-cos(yz)$, ma poi non si va molto oltre (almeno io non vado molto oltre...)
si infatti dopo la prima integrazione poi non ne vengo fuori...stavo pensando se sia possibile determinare un campo vettoriale $\vecG:\vecF=\vec\nabla\times\vecG$ e poi applicare stokes per calcolare il flusso attraverso la superficie del paraboloide
$\int_{\partialD}\vecF\cdot\hat{n}d\sigma=\int_{\partialD}(\vec\nabla\times\vecG)\cdot\hat{n}d\sigma=\oint_{\gamma}\vecG\cdotd\vecs$
ma mi sembra alquanto improbabile che si complichi cosi tanto...
$\int_{\partialD}\vecF\cdot\hat{n}d\sigma=\int_{\partialD}(\vec\nabla\times\vecG)\cdot\hat{n}d\sigma=\oint_{\gamma}\vecG\cdotd\vecs$
ma mi sembra alquanto improbabile che si complichi cosi tanto...
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