Flusso campo vettoriale
Calcolare il flusso uscente del campo vettoriale $F=(xy,z,y)$ lungo la superficie chiusa che si ottiene intersecando il piano $z=1$ con la superficie $z=x^2 + (y-1)^2$
Ho provato a risolverlo sia col teorema della divergenza che con il metodo diretto ma i conti diventano interminabili,ho scritto l insieme:
$T={(x,y,z) in R^3:0<=y<=2; -sqrt(2y-y^2)<=x<=sqrt(2y-y^2); x^2 + (y-1)^2<=z<=1}$
dopo ho calcolato $DivF=y$ e ho cercato inutilmente di risolvere l integrale triplo.
Ho provato a risolverlo sia col teorema della divergenza che con il metodo diretto ma i conti diventano interminabili,ho scritto l insieme:
$T={(x,y,z) in R^3:0<=y<=2; -sqrt(2y-y^2)<=x<=sqrt(2y-y^2); x^2 + (y-1)^2<=z<=1}$
dopo ho calcolato $DivF=y$ e ho cercato inutilmente di risolvere l integrale triplo.
Risposte
viene π/2 per caso?
Il risultato non c e perche e una prova d esame....comunque l ho svolto con le coordinate cilindriche e mi esce 3/10 che moltiplica l integrale di $sen^6 x$ che non ho risolto
La superficie è quella di un paraboloide con centro $(0,1)$, "tappato" da un piano parallelo al piano $xy$, un disegnino aiuta sempre.
Integrerò per piani, sono infatti tutte circonferenze di raggio $\sqrt(z)$.
Usando le coordinate cilindriche:
\begin{equation}
\begin{cases}
x = \rho cos(\theta) \\ y= \rho\sin(\theta)+1 \\ z=z
\end {cases}
\end{equation}
e usando il teorema della divergenza (le cui ipotesi sono soddisfatte) devi svolgere (integrando per strati):
$ \int_{0}^1 \int_{S} (\rho\sin(\theta)+1 ) d\sigma dz $ dove $S$ è il dominio di integrazione scritto in coordinate polari.
Hai che $\rho \in [0,\sqrt(z)]$ e $\theta \in [0,2\pi)$, quindi:
$ \int_{0}^1 (\int_{0}^{2\pi} (\int_{0}^{\sqrt(z)}[((\rho\sin(\theta)+1 ) \rho]d\rho) d\theta)dz = \pi/2 $.
Ciao!
Integrerò per piani, sono infatti tutte circonferenze di raggio $\sqrt(z)$.
Usando le coordinate cilindriche:
\begin{equation}
\begin{cases}
x = \rho cos(\theta) \\ y= \rho\sin(\theta)+1 \\ z=z
\end {cases}
\end{equation}
e usando il teorema della divergenza (le cui ipotesi sono soddisfatte) devi svolgere (integrando per strati):
$ \int_{0}^1 \int_{S} (\rho\sin(\theta)+1 ) d\sigma dz $ dove $S$ è il dominio di integrazione scritto in coordinate polari.
Hai che $\rho \in [0,\sqrt(z)]$ e $\theta \in [0,2\pi)$, quindi:
$ \int_{0}^1 (\int_{0}^{2\pi} (\int_{0}^{\sqrt(z)}[((\rho\sin(\theta)+1 ) \rho]d\rho) d\theta)dz = \pi/2 $.
Ciao!
Grazie per avermi risposto! Ma alcune cose non mi sono chiare,come hai calcolato gli estremi d integrazione?e perche nelle coordinate cilindriche hai messo +1 dopo il seno?
Nelle coordinate cilindriche ha messo $ y=ρsin(θ)+1 $ perchè le sezioni del paraboloide sono cerchi centrati nel punto $ (x,y,z)=(0,1,z) $.
per gli estremi invece $ 0<=ρ<=sqrtz $ poichè le circonferenze di $ z=x^2 + (y-1)^2 $ hanno raggio $ sqrtz $, invece $ 0<=theta<=2pi $ dato che i punti della circonferenza vanno presi tutti (fai un giro completo), mentre $ 0<=z<=1 $ è dato dal testo del problema.
Il procedimento di Bremen000 è corretto, ma il risultato è $ pi/2 $, io l'avevo fatto integrando per strati, cioè così $ int_Dint_(x^2+(y-1)^2)^1 ydzdrho dvartheta $ con $ D={(rho,theta)inR^2| 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi} $, vengono i calcoli un po' più lunghi, ma viene lo stesso
per gli estremi invece $ 0<=ρ<=sqrtz $ poichè le circonferenze di $ z=x^2 + (y-1)^2 $ hanno raggio $ sqrtz $, invece $ 0<=theta<=2pi $ dato che i punti della circonferenza vanno presi tutti (fai un giro completo), mentre $ 0<=z<=1 $ è dato dal testo del problema.
Il procedimento di Bremen000 è corretto, ma il risultato è $ pi/2 $, io l'avevo fatto integrando per strati, cioè così $ int_Dint_(x^2+(y-1)^2)^1 ydzdrho dvartheta $ con $ D={(rho,theta)inR^2| 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi} $, vengono i calcoli un po' più lunghi, ma viene lo stesso
Ciao luca!
Non lo sapevo questo "trucchetto"di aggiungere un numero alle coordinate cilindriche per semplificare di molto i calcoli,comunque ho ricontrollato il problema e ho notato un errore che ho fatto per trovare gli estremi di integrazione.Alla fine mi esce $pi/2$
Non lo sapevo questo "trucchetto"di aggiungere un numero alle coordinate cilindriche per semplificare di molto i calcoli,comunque ho ricontrollato il problema e ho notato un errore che ho fatto per trovare gli estremi di integrazione.Alla fine mi esce $pi/2$
Ho provato a farlo con le coordinate cilindriche di bremen ma dopo mi e impossibile integrare...si ha:
$r^2<=z<=1$ da cui ottengo $0<=r<=sqrtz$ e $0<=theta<=2pi$ non capisco perche z lo prendete compreso tra 0 e 1.
$r^2<=z<=1$ da cui ottengo $0<=r<=sqrtz$ e $0<=theta<=2pi$ non capisco perche z lo prendete compreso tra 0 e 1.
Si ho corretto, perdonatemi, sarà l'età. Non comprendo perché ti sia "impossible integrare"... $z$ va preso compreso tra $0$ e $1$ perché il parboloide è tagliato all'altezza $1$. Prova a farti un disegno della figura (e a metterci dentro anche $\rho$, $\theta$ e $z$), vedrai che ti sarà più chiaro!
Allora viene $ int_0^1int_0^(2pi)int_0^(sqrtz)( rhosin(θ)+1)rhod rhod theta d z= int_0^1int_0^(2pi) (rho^3/3sin(theta)+rho^2/2)_0 ^sqrtzd theta dz=int_0^1-zsqrtz/3cos(theta)+z/2theta)_0^(2pi)=piz^2/2) _0^1= pi/2 $.
z è compreso tra 0 e 1 perchè il testo del problema ti dice "lungo la superficie chiusa che si ottiene intersecando il piano z=1 con la superficie $ z=x^2+(y−1)^2 $ ", quindi l'estremo inferiore è 0 (la superficie infatti è un paraboloide con vertice l'origine e con concavità verso l'asse positivo delle z (ovvero verso l'alto), mentre l'estremo superiore è 1 perchè il paraboloide viene tagliato dal piano z=1. Aiutati con un disegno
z è compreso tra 0 e 1 perchè il testo del problema ti dice "lungo la superficie chiusa che si ottiene intersecando il piano z=1 con la superficie $ z=x^2+(y−1)^2 $ ", quindi l'estremo inferiore è 0 (la superficie infatti è un paraboloide con vertice l'origine e con concavità verso l'asse positivo delle z (ovvero verso l'alto), mentre l'estremo superiore è 1 perchè il paraboloide viene tagliato dal piano z=1. Aiutati con un disegno
Grazie 1000 ragazzi ho visto il grafico e adesso mi e tutto chiaro!Se avete voglia e tempo possiamo confrontarci con quest altro integrale almeno sulla prima impostazione poi i calcoli si fanno (e sempre una prova d esame quindi non ho il risultato)l integrale é
$ intint y/(2+x^2 +y^2)dxdy$
Calcolato sull insieme T parte del primo quadrante delimitata dalle seguenti curve $y=x;y=0; x^2 +y^2 -4x=0;x^2 +y^2 -2x=0$
Usando le coordinate polari sono arrivato ad ottenere $0<=theta<=pi/4 ; 2costheta<=r<=4costheta$
E l integrale diventa
$int_0^(pi/4)d theta int_(2costheta)^(4costheta) (r^2sentheta)/(2+r^2)dr$
Ho provato a svolgere l integrale ma i calcoli diventano troppo lunghi e la cosa e un po strana visto che e una prova d esame
$ intint y/(2+x^2 +y^2)dxdy$
Calcolato sull insieme T parte del primo quadrante delimitata dalle seguenti curve $y=x;y=0; x^2 +y^2 -4x=0;x^2 +y^2 -2x=0$
Usando le coordinate polari sono arrivato ad ottenere $0<=theta<=pi/4 ; 2costheta<=r<=4costheta$
E l integrale diventa
$int_0^(pi/4)d theta int_(2costheta)^(4costheta) (r^2sentheta)/(2+r^2)dr$
Ho provato a svolgere l integrale ma i calcoli diventano troppo lunghi e la cosa e un po strana visto che e una prova d esame
scusami ma il dominio T è scritto proprio così? perchè non si capisce quale sarebbe, non ti dice se devi prendere la parte fuori o interna delle circonferenze
Ciao Luca la traccia dice semplicemente che T e la parte del primo quadrante delimitata dalle 4 curve che sono due circonferenze ,y=x e y=0. Ho tacciato il grafico dell insieme T e a me esce compreso tra le due circonferenze...per capirci meglio T mi esce uno spicchio di torta in cui hai mangiato la punta.
ok ho capito, allora io dividerei in 2 il dominio e quindi verrebbe $ int_1^2int_sqrt(2x-x^2)^x y/(2+x^2+y^2)dydx+int_0^(pi/4)int_2^(4cos(theta)) y/(2+x^2+y^2)d rho d theta $
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