Flusso campo vettoriale
Raga lo so che è già stato trattato in altri post l'argomento ma ho bisogno di qualcuno che mi aiuti a svolgere correttamente l'esercizio in modo da capire meglio se sbaglio qualcosa.
Allora il testo dell'esercizio è: Si consideri il campo vettoriale $ F=(x,y,0) $ e la superficie $ S $ di eqauzione $ z= cos(x^2+y^2) $ con $ x^2+y^2<= pi/2 $. Si orienti $ S $ in modo che la terza componente della normale sia negativa. Si calcoli il flusso di $ F $ attraverso $ +S $.
Allora come prima cosa so che:
$ \int F n ds $ = $ \int F1*A + F2*B + F3*C dxdy $
dove naturalmente F1,F2,F3 sono le componenti di F e A,B,C sono quelle della normale.
Parametrizzo la superficie in questo modo:
$ x=x , y=y , z=cos(x^2+y^2) $
Calcolo tramite la matrice le componenti della normale: $ (A,B,C)=(2xsin(x^2+y^2),-2ysin(x^2+y^2),1) $ ma dovendo essere la terza componente negativa scelgo $ -(A,B,C)=(-2xsin(x^2+y^2),2ysin(x^2+y^2),-1) $
Applicando la formula ottengo:
$ \int -2x^2sin(x^2+y^2)+2y^2sin(x^2+y^2) dx dy $
A questo punto mi basta passare alle coordinate polari con $ -sqrt(pi/2) <= \rho <= sqrt(pi/2) $ e $ 0<= \theta <= 2pi $ per risolvere l'integrale giusto?
Grazie anticipatamente a tutti quelli che risponderanno.
Allora il testo dell'esercizio è: Si consideri il campo vettoriale $ F=(x,y,0) $ e la superficie $ S $ di eqauzione $ z= cos(x^2+y^2) $ con $ x^2+y^2<= pi/2 $. Si orienti $ S $ in modo che la terza componente della normale sia negativa. Si calcoli il flusso di $ F $ attraverso $ +S $.
Allora come prima cosa so che:
$ \int F n ds $ = $ \int F1*A + F2*B + F3*C dxdy $
dove naturalmente F1,F2,F3 sono le componenti di F e A,B,C sono quelle della normale.
Parametrizzo la superficie in questo modo:
$ x=x , y=y , z=cos(x^2+y^2) $
Calcolo tramite la matrice le componenti della normale: $ (A,B,C)=(2xsin(x^2+y^2),-2ysin(x^2+y^2),1) $ ma dovendo essere la terza componente negativa scelgo $ -(A,B,C)=(-2xsin(x^2+y^2),2ysin(x^2+y^2),-1) $
Applicando la formula ottengo:
$ \int -2x^2sin(x^2+y^2)+2y^2sin(x^2+y^2) dx dy $
A questo punto mi basta passare alle coordinate polari con $ -sqrt(pi/2) <= \rho <= sqrt(pi/2) $ e $ 0<= \theta <= 2pi $ per risolvere l'integrale giusto?
Grazie anticipatamente a tutti quelli che risponderanno.
Risposte
Quindi mi consigli di passare direttamente tutto in coordinate polari?Potresti farmi vedere come risulta poi l'integrale?cioè calcolando il vettore normale con la terza componenete negativa e facendo i vari prodotti...
o meglio adesso provo a calcolarlo io e tu mi dici se lo faccio correttamente.
Hai ragione, erroraccio mio $\rho>=0$ sempre.
Allora $ v(r(\rho,\theta))=(\rho cos\theta, \rho sin\theta, 0) $
mentre: il prodotto vettoriale delle derivate parziali è $ (-2\rho cos\theta sin(\rho^2), 2\rho sin\theta sin(\rho^2), -1) $
Fin qui ci sono?
Allora $ v(r(\rho,\theta))=(\rho cos\theta, \rho sin\theta, 0) $
mentre: il prodotto vettoriale delle derivate parziali è $ (-2\rho cos\theta sin(\rho^2), 2\rho sin\theta sin(\rho^2), -1) $
Fin qui ci sono?
hai ragione...non avevo usato la tua notazione. In ogni caso ora mi è chiaro su come procedere, se dovessi avere qualche altro dubbio lo posto qui così magari puoi rispondermi sempre tu!!!Grazie mille!!!
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