Flusso campo vettoriale
Ciao a tutti!
Ho provato a fare un pò di esercizi sul flusso ma non riesco a risolvere questo esercizio:
Testo:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F=(x^3+2x)i+yx^2j+(1+y^2)/(1+x^2)k$ attraverso la superficie del cilindro di equazione $x^2+y^2=1$, delimitato di piani $z=0$ e $z=7$.
Io devo calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie scritta in forma cartesiana, quindi pensavo di calcolare le derivate parziali rispetto ad $x$ e $y$ e poi calcolare:
E' giusto come procedimento? Perchè poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione nell'integrale
Grazie
Ciaoo!
Ho provato a fare un pò di esercizi sul flusso ma non riesco a risolvere questo esercizio:
Testo:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F=(x^3+2x)i+yx^2j+(1+y^2)/(1+x^2)k$ attraverso la superficie del cilindro di equazione $x^2+y^2=1$, delimitato di piani $z=0$ e $z=7$.
Io devo calcolare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie scritta in forma cartesiana, quindi pensavo di calcolare le derivate parziali rispetto ad $x$ e $y$ e poi calcolare:
E' giusto come procedimento? Perchè poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione nell'integrale
Grazie
Ciaoo!
Risposte
Mi sembra strano vedere, nel secondo integrale, \(F\) dipendere da tre parametri: il terzo da dove salta fuori??
A che io ricordi, per calcolare quel flusso devi parametrizzare la superficie con, ad esempio, \(x = x(u,v), \ y = y(u,v)\), calcolare la normale uscente, che dipenderà da \(u\) e \(v\) ed il cosiddetto "elemento d'area".
Fatto ciò, svolgi l'integrale normalmente.
A che io ricordi, per calcolare quel flusso devi parametrizzare la superficie con, ad esempio, \(x = x(u,v), \ y = y(u,v)\), calcolare la normale uscente, che dipenderà da \(u\) e \(v\) ed il cosiddetto "elemento d'area".
Fatto ciò, svolgi l'integrale normalmente.
Ciao!
Avevo pensato anche io di utilizzare il teorema della divergenza.. ma non riesco a trovare gli estremi di integrazione.
Io so che:
$div(F)=(partialF_1)/(partialx)+(partialF_2)/(partialy)+(partialF_3)/(partialz)$
e quindi
$int int int_V div(F)dxdydz=int int_SFndS$
Calcolo quindi le derivate parziali
$(partialF_1)/(partialx)=3x^2+2$
$(partialF_2)/(partialy)=x^2$
$(partialF_3)/(partialz)=0$
Quindi il mio integrale diventa
$int int int_V (4x^2+2)dxdydz$
Adesso so che z è limitata tra $0<=z<=7$.. per la x invece faccio la sostituzione con le coordinate polari.. $0<=rho<=1$ mentre $0<=theta<=2pi$
E' corretto così?
Grazie
Ciao
Avevo pensato anche io di utilizzare il teorema della divergenza.. ma non riesco a trovare gli estremi di integrazione.
Io so che:
$div(F)=(partialF_1)/(partialx)+(partialF_2)/(partialy)+(partialF_3)/(partialz)$
e quindi
$int int int_V div(F)dxdydz=int int_SFndS$
Calcolo quindi le derivate parziali
$(partialF_1)/(partialx)=3x^2+2$
$(partialF_2)/(partialy)=x^2$
$(partialF_3)/(partialz)=0$
Quindi il mio integrale diventa
$int int int_V (4x^2+2)dxdydz$
Adesso so che z è limitata tra $0<=z<=7$.. per la x invece faccio la sostituzione con le coordinate polari.. $0<=rho<=1$ mentre $0<=theta<=2pi$
E' corretto così?
Grazie
Ciao
Ciao!
Probabilmente sbaglio i calcoli..
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) int_(0)^(7) (4(p^2cos^2theta)+2)dtheta drho dz$
Integrando solo il $2$ risulta $28pi$ in quanto $2*2pi*1*7=28pi$
Integrando il primo integrale ottengo $28/3pi$
Quindi la somma risulta $112/3$ al posto di $21pi$.
O sbaglio i calcoli oppure a fare l'integrazione
Grazie
Ciaoo!
Probabilmente sbaglio i calcoli..
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) int_(0)^(7) (4(p^2cos^2theta)+2)dtheta drho dz$
Integrando solo il $2$ risulta $28pi$ in quanto $2*2pi*1*7=28pi$
Integrando il primo integrale ottengo $28/3pi$
Quindi la somma risulta $112/3$ al posto di $21pi$.
O sbaglio i calcoli oppure a fare l'integrazione
Grazie
Ciaoo!
aaargh 
cavolo mi devo fare un cartello con scrittoJacobiano
Grazie mille adesso si che torna tutto!
Grazie ancora
Ciaoo
cavolo mi devo fare un cartello con scrittoJacobiano Grazie mille adesso si che torna tutto!
Grazie ancora
Ciaoo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo